От историята на квадратно уравнение, платформа съдържание
От историята на квадратно уравнение
Алгебра стана във връзка с решаването на различни проблеми при използването на уравнения. Обикновено задачите, които искате да намерите един или повече неизвестни, знаейки, резултатите от някои действия, извършвани в продължение на непознатото и стойности на данните. Тези проблеми могат да бъдат сведени до решаване на един или повече от системата уравнения, за да намери неизвестното с помощта на алгебрични операции на стойностите на данните. В алгебра, ние изучаваме общи свойства на операции на ценности.
Някои алгебрични методи за решаване на линейни и квадратно уравнение са били известни преди 4000 години в древен Вавилон.
Квадратно уравнение в древен Вавилон
Обикновено решения на тези уравнения, както е посочено в вавилонските текстове, съвпада по същество с модерна, но не е известно как вавилонците дойдоха от това правило. Почти всички са били открити досега клиновидни текстове водят само към задачите, очертани във формата на рецепти, няма индикация за това как те са открити. Въпреки високото ниво на развитие на алгебра във Вавилон, в клинообразни текстове, няма концепция за отрицателно число, както и общи методи за решаване на квадратно уравнение.
В "аритметика" Diophantus не систематично изложение на алгебра, но тя съдържа систематична поредица от задачи, придружени от обяснения и решен с помощта на уравненията на различни степени.
При формирането на Diophantus уравнения да се опрости решения умело избира непознатото.
Ето, например, един от неговите задачи.
Проблем 2: "Намери две числа, знаейки, че сумата им е 20, а на продукта - 96".
Diophantus твърди, както следва: от условията на проблема предполага, че необходимия брой не са равни, като че ли са равни, тогава техния продукт ще бъде равен не 96, а 100. По този начин, един от тях ще бъде повече от половината от сумата им, т.е.. . 10 + х. Други са по-малки, т.е., 10 - .. X. Разликата между 2 от тях. Следователно уравнението:
Следователно х = 2. Един от непознати номера, е на 12, а другият 8. решение х = - 2, за да Diophantus не съществува, тъй като гръцкият математик знаеше само положителни числа.
Ако се реши този проблем, като изберете една от неизвестните неизвестни номера, е възможно да се стигне до решение на уравнението:
Ясно е, че чрез избор, тъй като половината от неизвестни неизвестни номера Diofant опростява; е възможно да се намали проблема за решаване на квадратно уравнение непълна.
Квадратно уравнение в Индия
Предизвикателства за квадратно уравнение се намират вече в астрономическия трактат "Ariabhattiam", съставен от 499 индийски математик и астроном Ariabhattoy. (. VII в) Друг индийски учен Брахмагупта, разтвори посочено правило квадратно уравнение намалени до един канонична форма:
В уравнение (1), коефициентите могат да бъдат отрицателни. Брахмагупта обикновено по същество съвпада с нашите.
В Индия, публични конкурси в решаването на трудни проблеми са често срещани. В един от най-древните индийски книги казва за такива събития, както следва: "Когато слънцето засенчва блясъка на своите звезди, като учен човек ще затъмни славата на пазарите, като предлага и решаване на алгебрични проблеми." Задачи често са облечени в поетичен форма.
Това е една от задачите на известния индийски математик XII век. Bhaskara.
"Frisky стадо маймуни
Съответният проблем уравнение 3:
Bhaskara пише под прикритието на:
и за допълване на лявата страна на това уравнение за квадрат, я добавя към двете части 322, като се получава след това:
х2 - b4h + 322 = -768 + 1024,
Квадратно уравнение от ал-Khwarizmi
1) "квадратни корени са" т. Е. = Ax2 BX.
2) "на квадратите са равни на броя на" т. Е. Ax2 = С.
3) "Корените са равни на броя на" т. Е. = О стр.
4) "и броя на квадрати равни корени", т.е.. Е. А = ax2 + BX.
5) "квадрати и корени са равни на броя на" т. Е. Ax2 + BX = С.
6) "и броя на корени са квадрат", т.е.. Е. BX + C == ax2.
Задача 4 "квадратен от броя 21 и 10 са равни на корените. Виж основата на "(което означава, корена на уравнение х2 + 21 = 10х).
Решение: разполовени брой корени, за да даде 5, 5 умножете по себе си, отнемат от продукта 21 да остане 4. Екстракт от корен от 4, 2 получите 2. отнеме от 5 до получаване на 3, то ще бъде желан корен. Или добавете 2 до 5, което ще даде 7, също така е корен.
Трактат Ал-Khwarizmi е първият запазен книгата, която системно е посочено класирането на квадратно уравнение и формулите са дадени, за да ги решим. [3.75]
Квадратно уравнение в EvropeXII-XVII век.
Тази книга е допринесла за разпространението на алгебрични знания, не само в Италия, но и в Германия, Франция и други европейски страни. Много от задачите в тази книга премина почти всички европейски книги XIV-XVII век. Общото правило за решаване на квадратно уравнение, намалени до един канонична форма х2 + BX = С за всички възможни комбинации от знаци и коефициенти В, С, се формулира в Европа през 1544 М. Stiefel.
формули заключение за разтвора на квадратно уравнение като цяло е достъпно от Wyeth, но Wyeth признава само положителни корени. Италиански математик Tartaglia, Кардано, Bombelli сред първите в XVI век. се вземат предвид, в допълнение към положителните и отрицателните корени. Само в XVII век. благодарение на работата на Жирар, Декарт, Нютон и други учени начин за решаване на квадратно уравнение отнема модерна визия. [5,12].
Произходът на алгебрични методи за решаване на практически задачи, свързани с науката на древния свят. Както знаем от историята на математиката, голяма част от математическия естеството на задачите, поети от египетското, шумерски, вавилонски книжници-решават (XX-VI век. Пр. Д.), се изчислява характер. Но дори и тогава от време на време не е имало проблеми, в който желаната стойност на непреките се определят някои условия, които изискват от нашата съвременна гледна точка, подготовката на уравнение или система от уравнения. Първоначално аритметични методи, използвани за решаването на тези проблеми. В бъдеще, ние започнахме да се образува наченки на алгебрични символи. Например, вавилонските калкулатори могат да решават проблеми, които са намалени от гледна точка на съвременната класификация на уравненията на втора степен. метод е създаден проблеми на думи, които са послужили като основание за по-нататъшно отпускане на алгебрични компонент и независимо разследване.
Това изследване се провежда вече в друга епоха първите арабски математиците (VI-X в. Н. Е.), Изберете специфичното действие, с което уравнение намалява до образец елемент подобен задействане, елемент за преместване от едната страна на уравнението на друг с промяната на знак. И тогава европейските математици на Ренесанса, в дългосрочен търсенето в крайна сметка създават съвременен език алгебра, използването на буквите, въвеждането на символи на аритметични операции, скоби, и така нататък. Г. В края на XVI-XVII век. алгебра като специфична част от математиката, която има за своя цел, метод, области на приложение, вече са формирани. По-нататъшното развитие, до този момент, се състои в подобряване на методите на, разширяване на сферата на приложение, изясняване на понятията и техните отношения с други клонове на математиката концепции.
Така че, като се има предвид значението и обхвата на материали, свързани с концепцията на уравнението, кабинета му в съвременните методи на математиката е свързана с три основни области на неговото възникване и функциониране.
За да се реши всеки квадратно уравнение, което трябва да знаете:
· Намирането на дискриминантен формула;
· Формула намери корените на квадратното уравнение;
· Алгоритми за решаване на уравнения от този тип.
· Решаване квадратно уравнение са непълни;
· Справяне с пълни квадратно уравнение;
· Решаване квадратно уравнение дадени;
· Откриване на грешки в решението на уравнението и да ги отстраним;
Всеки разтвор на уравнението се състои от две основни части:
· Превръщане на това уравнение е най-простият;
· Решаване на уравнения в съответствие с определени правила, формули или алгоритми.
Обобщаване на начините активност на учениците при решаване на квадратно уравнение е постепенен. Ние можем да се разграничат следните етапи в изследването на темата "квадратно уравнение":
Фаза I - "Решението непълни квадратно уравнение."
Етап II - "общо решение на квадратно уравнение."
Етап III - "Решението дава квадратно уравнение."
В първия етап се счита, непълни квадратно уравнение. От първите математици са се научили да се реши квадратно уравнение са непълни, тъй като не е нужно да се направи това, както се казва, какво да измисли. Това уравнение на формата: ax2 = 0, ax2 + с = 0, където ≠ 0, ax2 + BX = 0, където б ≠ 0. Да разгледаме разтвор от няколко от тези уравнения:
1. Ако ax2 = 0. уравнения от този тип се решава чрез алгоритъма:
Например, 5x2 = 0 Разделяне двете страни на уравнение 5 за получаване на: Х2 = 0, където х = 0.
2. Ако ax2 + C = 0, в ≠ 0 уравнения от този тип са решени чрез алгоритъма:
1) Срокът на трансфер в правото;
2), за да намерите всички числа, чиито квадрати са равни на броя.
Например, x2 - 5 = 0 Това уравнение е еквивалентно на уравнението х 2 = 5. Поради това е необходимо да се намери всички числа, чиито квадрати са равни на броя 5. Има само две числа и -. Така уравнението x2 - 5 = 0 има две корени: Х1 =. х2 = - и други корени не са разрешени.
3. Ако ax2 + BX = 0, б ≠ 0. уравнения от този вид са решени чрез алгоритъма:
1) да се движат общ фактор от скобите;
Например, x2 - 3 = 0. Нека презапис уравнение х2 - 3 = 0, когато х (х - 3) = 0. Това уравнение е очевидно корени x1 = 0, Х2 = 3. тя няма други корени, за ако заместител х има произволен брой ненулева и 3, от лявата страна на уравнение х (X - 3) = 0 ще номер не е равно на нула.
По този начин, тези примери показват как да се реши квадратно уравнение са непълни:
1) Ако уравнението е форма ax2 = 0, има един корен х = 0;
2) Ако уравнението е на формуляра ax2 + BX = 0, тогава factorizations метод: X (брадва + б) = 0; Това означава, че или х = 0 или брадва + б = 0. Резултатът е два корени: Х1 = 0; х2 = -;
3) Ако уравнението е ax2 формата + с = 0, след това се превръща в форма ax2 = - S и по-X2 = -. В случай, когато - <0, уравнение х2 = - не имеет корней (значит, не имеет корней и исходное уравнение ах2 + с = 0). В случае, когда -> 0, т.е. - .. = М, където m> 0, уравнението х2 = m има две корени
= = -, (в този случай позволи по-кратък = запис.
Така, непълна квадратно уравнение може да има две корени, корен, един корен.
Във втория етап, на прехода към пълен разтвор на квадратното уравнение. Това уравнение на формуляра ax2 + BX + с = 0, където А, В, С - дадените номера и ≠ 0, х - неизвестен.
Всяко пълно квадратно уравнение може да се трансформира в. с цел да се определи броя на корените на квадратното уравнение и да намерят тези корени. Concider следните случаи на цялостни решения на квадратно уравнение: D <0, D = 0, D> 0.
1. Ако D <0, то квадратное уравнение ах2 + bx + c = 0 не имеет действительных корней.
Например, 2x2 + 4 + 7 = 0. Решение: където а = 2, б = 4, с = 7.
D = b2 - 4ав = 42 - 4 * 2 * 7 = 16 - 56 = - 40.
От D <0, то данное квадратное уравнение не имеет корней.
2. Ако D = 0, тогава квадратно уравнение ax2 + BX + С = 0 има корен, който е в съответствие с формулата.
Например, 4 - 20x + 25 = 0. Решение: а = 4, б = - 20, с = 25.
D = b2 - 4ав = (-20) с 2 - 4 * 4 * 25 = 400-400 = 0.
Тъй като D = 0, тогава уравнението има един корен. Този корен е формулата. по този начин,
3. Ако D> 0, тогава квадратно уравнение ax2 + BX + С = 0 има две корени, които са дадени от :; (1)
Например, 3x2 + 8x - 11 = 0 Решение: а = 3, б = 8, с = -11. D = b2 - 4ав = 82-3 * 4 * (- 11) = 64 + 132 = 196.
Тъй като D> 0, тогава тази квадратно уравнение има две корени. Тези корени са дадени от:
Съставител алгоритъм за решаване на уравненията на форма ос 2 + BX + С = 0.
1. Изчислява се дискриминантен D съгласно формула D = В2 - 4ав.
2. Ако D <0, то квадратное уравнение ах2 + bx + c = 0 не имеет корней.
3. Ако D = 0, тогава квадратното уравнение е един корен, който е даден от
4. Ако D> 0, тогава квадратно уравнение ax2 + BX + С = 0 има две корени; ,
Този алгоритъм е универсална, тя е приложима както за частично и пълно с квадратно уравнение. Въпреки това, непълни квадратно уравнение обикновено не решават този алгоритъм.
Математика - хора, практичен, икономичен, така че да използват формулата :. (2)
Така, можем да заключим, че квадратно уравнение може да бъде решен по-подробно, като се използва правилото посочено по-горе; възможно - веднага пиша формулата (2) и да го използвате, за да направи необходимите изводи. [1,98].
В третия етап се счита дадени квадратно уравнение, които имат форма х2 + PX + р = 0 (3), където р и р - данни цифри. Р - коефициент на х и р - без план. В дискриминантен уравнението е: D = p2 - 4q. Помислете за три случая:
1. D> 0, уравнението (3) има две корени, изчислени с помощта на уравнение. (4)
2. D = 0, тогава уравнение (3) има един корен, или като изгаряне, два съвпада корен:
3. D <0, то уравнение не имеет корней. Обычно в случае приведенного квадратного уравнения (3) вместо D рассматривается выражение , имеющее тот же знак, что и D. При этом формулу корней приведенного квадратного уравнения (4) записывают так:
От това следва, че:
1) Ако уравнението (3) има две корени;
2) Ако уравнението има два съвпада корен;
3) Ако уравнението няма корени.
Важен момент в изследването е да проучи квадратно уравнение Wyeth на теоремата на който твърди асоцииране между корените и коефициентите на горе квадратно уравнение.
Място теорема. Сумата от корените на квадратно уравнение се редуцира до Вторият фактор, взет с обратен знак, и продукта от корените е равна на постоянен план.
С други думи, ако X1 и Х2 - корените на уравнение х2 + PX + р = 0,
Тези формули се наричат формули Място след френски математик Е. Място (), което въвежда система от алгебрични символи, разработен основите на елементарна алгебра. Той беше един от първите, които дойдоха да се отнася до броя на буквите, което значително разработена теорията на уравнения.
Например, горното уравнение х2 - 7 пъти 10 = 0 има корени 2 и 5. Количеството на корените е 7, и продуктът е равен на 10. Вижда се, че сумата на корените е равен на втория коефициент, взет с обратен знак, и продукта от корените е равна на постоянен план.
Ние също имаме теорема, обратната теорема на Vieta.
Теорема, обратен теоремата на Място. Ако формули номера x1, Х2, Р, Q (5), x1 и x2 - корени на уравнение х2 + PX + р = 0 [2.49].
теорема Vieta и теоремата, обратен, често се използват при решаването на различни проблеми.
Например. Ние напиши дадения квадратно уравнение чиито корени са числата 1 и -3.
Чрез формули Място
Следователно желания уравнението има форма х2 + 2х - 3 = 0.
Сложността на развитието на теоремата Vieta е свързано с няколко фактора. На първо място, ние трябва да се вземе предвид разликата между пряка и обратна теорема. В Direct теоремата на Място даден квадратно уравнение и корени; в замяна - само две числа, а квадратно уравнение се появява в края на теоремата. Студентите често правят грешката да се базира твърденията си на неправилно позоваване на пряка или обратна теорема на Vieta.
Например, когато корените на квадратно уравнение е необходимо да се обърнете към избора на Converse теоремата на Vieta, а не по права линия, колко често студенти. С цел да се удължи Vieta теоремата случая на нулата на дискриминантата, ние трябва да се съгласим, че в този случай, квадратното уравнение има две еднакви корени. Удобството на това споразумение се появява в разлагането на квадратното полином факторинг.