Основни понятия от теорията на вероятностите

Най-просто е определено основните понятия на теорията на вероятностите като математическа дисциплина в така наречените елементарни теорията на вероятностите. Всеки тест T, смятан в началното теорията на вероятностите е такава, че тя завършва в един и само един от резултатите, или както се казва, един от най-елементарните събития # 969; 1. # 969; 2. # 969; и. Всеки изход # 969 К свързани отрицателно число п.к. - вероятността на този резултат. п.к. номера трябва по този начин допринася за едно. След това се обсъжда събития А, състоящ се от факта, че "е налице, или # 969; т. или # 969; J. или # 969 ;. К "Резултати # 969; т. # 969; J. # 969 К (наречена благоприятна А, и по дефиниция, се смята, вероятността P (А) събития А, равно на сумата, благоприятен изход вероятности:
P (A) = пи + PJ +. + Pk. (1)

Специален случай Р1 = Р2 =. = Ps = 1 / и води до формула
Р (а) = R / S (2)
изразяване на така наречените класически определянето на вероятностите, при което вероятността за събитие А е равен на съотношението на номер R на резултатите благоприятни за А, с номер S на всички "еднакво вероятно" резултат. Вероятност Изчисляване намалява до преброяване на броя на по-добри резултати и събитие А често е трудно комбинаторна проблем.

Пример. Когато два зара хвърлят всяка от 36-те възможни резултати може да бъде определена (I, J), където - броят на точките на първия падащото кост, J - втората. Резултати се приемат за еднакво вероятни. Събитие - "отбележи = 4", благоприятства три резултати: (1, 3), (2, 2), (3, 1). Следователно, Р (A) = 3/36 = 1/13.

Въпросът за това как да се определи числовите стойности ПК вероятности в този конкретен проблем е по същество извън теорията на вероятностите като чисто математическа дисциплина. В някои случаи, изборът на тези стойности се основава на резултатите от обработка на голям брой наблюдения. В други случаи може да има теоретичен прогнозиране на вероятността, с която определени събития ще се случат в този тест. Такава прогноза често се основава на обективна симетрия връзка между условията, при които се извършва тест и резултатите от тези тестове, и след това води до формулата (2). Да предположим, например, изпитването се състои от засаждане на зарове, който е куб от хомогенен материал. След това можем да приемем, че с вероятност 1/6 кост може да падне върху всяка от лицата им. В този пример, поемането на еднаква вероятност на резултатите е в съгласие с експеримент. Примери за този вид, и са послужили като основа за класическото определение за вероятност.

По-фините и дълбоко обяснение за еднаква вероятност на резултатите в някои специални случаи, като се има предвид така наречения метод на произволни функции. Същността на този метод може да се обясни както следва в примера на хвърляне на зарове. Нека опита доставени по такъв начин, че случайни въздействия върху костта от въздуха може да се счита незначителни. След това, ако са дадени точно първоначалната позиция, началната скорост на костта и неговите механични характеристики, движението може да бъде изчислена в съответствие със законите на класическата механика и резултата от експеримента може да се прогнозира надеждно. На практика първоначалните условия не може някога да се определят с абсолютна точност, и например, дори много малки промени в началните скорости доведат до различен резултат, ако само на време тон от времето на падането да се хвърля достатъчно голяма. Оказва се, че при много широки предположения относно разпределението на първоначалните стойности на вероятностите (оттук и името на метода), вероятността за всеки от шестте възможни резултати тенденция да 1/6 когато т → ∞.

Друг пример - разбъркването на тесте карти, с цел постигане на еднаква вероятност на всички възможни места. Тук, на прехода от една карта на друго място обикновено е вероятностен в природата с приоритизиране разместване. Фактът, че желанието за еднаква вероятност създадена методи на теорията на Марковски вериги.

И двата случая могат да бъдат включени в общия Ergodic теория.

Въз основа на който и да е от тези събития, можете да определите два нови събития: техният съюз (сума), а комбинацията от (на продукта). Събитие Б се нарича съюз (или количеството) А1 събития. А2. Ar. ако има формата: "идва или А1 или А2, или Аг ..". C се нарича от регистрация на събитието (или продукт) А1 събития. А2. Ar. ако то е: "идва и А1 и А2 и Ar ..".

Комбиниране на събития представляват комбинация от знака на U. - подпише ∩. По този начин, те пишат:
В = А1 U А2 U. U Аг. С = А1 ∩ А2 ∩. ∩ Аг.

Събития D и Е се наричат ​​несъвместими, ако едновременното им прилагане е невъзможно, това е, ако няма тестови резултати сред единствен благоприятна и D и Е.

С въведените операции, свързани с две основни теореми на елементарна теория на вероятностите - теореми на събиране и умножение на вероятностите.

Освен теорема. Ако събитията А1. А2. Ar такава, че всеки две от тях са взаимно изключващи се, вероятността от техния съюз е равна на сумата от техните вероятности. По този начин, в примера по-горе, хвърляне на зарове две, събитие Б - "сумата от точки не надвишава 4" е обединението на три несвързани събития А2. A3. А4. се крие във факта, че общият брой е съответно 2, 3, 4. Вероятността тези събития на 1/36, 2/36 и 3/36. Според допълнение теорема еднаква вероятност B
1/36 + 2/36 + 3/36 = 1/6

Условната вероятност на събитие Б, при условие А (Р (F)> 0) се определя по формулата
,
че може да се покаже, че е в пълно съответствие с честотните характеристики. А1 събитие. А2. Ar наречен независим ако условната вероятност на всеки един от тях, при условие че всички останали дойде, е неговата "безусловна" вероятност (вж. Както "независимост" в теорията на вероятностите).

теорема на умножение на вероятности. Вероятността от А1 комбинация събитие. А2. Аг е равна на вероятността за събитие А1 умножава по вероятността за събитие А2. взето с уговорката, че А1 пристигнал. умножава по вероятността от Ar събития, при условие, че А1. А2. Ar-1 дойде. За независими събития, за умножение теорема води до формулата
P (А1 ∩ А2 ∩. ∩ Ar) = Р (А1) • Р (А2) •. • Р (Ar), (3)
т.е. вероятността от пресечната точка на независими събития е продукт на вероятностите за тези събития. Формула (3) остава валидна, ако и двете му части са някои от събитията се заменя със своите противоположни.

Пример. 4 снимки, направени с целта засегнати вероятност от 0,2 за един изстрел. Достигне в различни снимки приема за независими събития. Каква е вероятността да улучи мишената точно три пъти?

Всеки резултат от изпитването може да се посочи чрез последователност от четири букви [например, (Y, п, п, у) означава, че първата и четвъртата снимки са засегнати (успех), а вторият и третият - резултатът не беше (недостатъчност)]. Ще има 2 • 2 • 2 • 2 = 16 резултати. В съответствие с предположението за независимост на отделните изстрела резултати следва да се определи вероятността от тях да използват резултатите от формула (3) и бележката към нея. Следователно, вероятността от изход (Y, п, п, п) трябва да бъде равна на
0.2 0.8 • • • 0.8 0.8 = 0,1024;
тук 0.8 = 1 - 0.2 - вероятността от Мис за един изстрел. Събитие "в целта е три пъти" са благоприятен изход (Y, Y, Y, п), (Y, Y, п, у), (Y, п, у, у), (п, у, у, у) вероятността за всеки един и същ:
0.2 • 0.2 • 0.2 • 0.8 =. = 0,8 • 0.2 • 0.2 • 0.2 = 0,0064;
Следователно търсената вероятност е
4 • 0,0064 = 0,0256.

Обобщавайки аргументите анализирани Например, можете да покажете един от основните формули на теорията на вероятностите: ако събитията А1. А2. Един независим и да има всеки вероятност р, тогава вероятността за точно m са равни
; (4)
тук означава броя на комбинациите от п елементи m (cm. биномно разпределение). За голям п чрез изчисляване на формула (4) става трудно. Да предположим, че в предишния пример, броят на изстрела е 100 и въпросът за намиране на вероятността х, че броят на попадения в диапазона от 8 до 32. Използването на формула (4) и допълнение теоремата дава точен, но на практика е достатъчно подходящ експресионен оригиналната вероятност:

Приблизителната стойност на вероятност х може да се намери от теоремата на Лаплас:

Нещо повече, тази грешка не надвишава 0,0009. Намерено резултат показва, че 8≤m≤ на събитие<32 практически достоверно. Это самый простой, но типичный пример использования предельных теорем теории вероятностей.

основните формули елементарен вероятност теория се отнася също така нареченото общо вероятност формула. Ако събитията А1. А2. Аг взаимно несъвместими, и техния съюз е определено събитие, за всеки случай В е равна на сумата на неговата вероятност

теоремата на размножаване на вероятностите е особено полезно, когато се разглежда тестове компонент. Те казват, че тестът за T се състои от тест T1. T2. Tn-1. Tn. Ако резултатът от всяко изпитване Т е комбинация от някои от резултатите от Ai. Bj. Хк. Ил подходящи тестове Т1. T2. Tn-1. Tn. От тези и други причини често известни вероятност
P (Ai), P (Bj | Ai). P (ил | Ай ∩ Bj ∩ ∩ Хк.). (5)

Чрез вероятности (5) с помощта на теоремата на размножаване може да се определи от вероятността P (Е) за всички резултати E изпитвано съединение, и в същото време и вероятностите за всички събития, свързани с този тест (подобно на това как се извършва в горния пример) , Най-важните от практическа гледна точка, два вида комбинирани проучвания: а) компоненти от изпитанията са независими, което означава, че вероятността от (5) са безусловни вероятности P (Ai), P (Bj). Р (Хк), P (ил);
б) на вероятностите за резултатите от всички резултати от изпитвания засягат само непосредствено предходния тест, който е, вероятността за (5) са, съответно, Р (Ai), P (Bj | Ai). P (ил | Хк). В този случай се говори за, а проучвания Марков верига. Вероятностите за всички събития, свързани с композитен теста, се определят от първоначалните вероятности Р (Ai) и вероятностите за преход P (Bj | Ai). P (ил | Хк) (виж Марков процес.).

"Treater" Уеб-сайт (termist.com)
Топломеханична втвърдяване на арматурно желязо

Липсата на препратки към използвания материал е нарушение на "Не кради" заповед