Основи на теорията на ортогонални сигнали

Ние въвеждане на концепцията за скаларно произведение на вектор пространство елементи. Скаларната продукт на реални сигнали ф и о:

Вътрешната продукт има следните свойства:

3. където - реалният брой

5. - правилно Коши-Шварц неравенство.

Линейната пространство с вътрешната продуктът съдържа в себе си всички гранични точки на всички последователности конвергенция вектори на това пространство се нарича реална Хилберт пространство Н.

Ако сигналите предприемат комплексни стойности, тогава можем да определим комплекс Хилберт пространство.

Ако сигналите са интегрирани, скаларното продукт:

Двете сигнали се наричат ​​перпендикулярни, ако техният вътрешен продукт, а оттам и на взаимното енергия, равна на нула:

Да предположим, че интервалът се настройва безкрайни функции на системата. ортогонална един до друг и имат единична норма:

Смята се, че в същото време в пространството на сигналите дадени ортонормирана база. Ние се разложи произволно сигнал в един ред:

Такова представяне се нарича генерализирано Фурие следващия сигнал в основа избрана.

Коефициентите на тази серия са, както следва. Вземете основната функция на случайно число. умножи по него двете страни на (1.10) и след това се интегрират резултатите по отношение на времето:

С оглед orthonormality основа за определянето на дясната страна на (1.11) ще бъде само член на размера на стаята. Ето защо:

Помислете сигнал. серия експанзия в ортонормирана базовата система и изчисли енергия директно заместване на тази серия в съответната интеграл:

Тъй като основната система на ортонормирани функции, в сумата (1,13) е различна от нула само ще членове с числата. Така се получава един забележителен резултат, който се нарича Parseval равенство:

Смисълът на тази формула е сумата от енергията на сигнала енергиите на всички компоненти, на които има обща серия Фурие.