Ортогонално система от функции

Ортогонална системни функции, системни функции М (х)>, п = 1, 2, ортогонална на теглото на R (х) в интервала [а, б], т. Е., така че

Примери. Тригонометрични система 1, cosnx, грехът NX; п = 1, 2. - ортогонална набор от функции с тегло 1 върху интервала [- стр. р]. Bessel функции, където п = 1, 2. - положителни нули J N (X), за всеки вид п> - 1/2 ортогонални системни функции с х тегло в интервала [0, L].

Ако всяка функция й (х) на ортогонална система от функции, така че (състояние нормализиране), а след това системните функции се нарича нормализират. Всяко ортогонална система на функции може да се стандартизира чрез умножаване й (х) е броят - за нормализиране фактор.

Систематичното изследване на ортогонална система от функции, стартира във връзка с метода на Фурие за решаване на гранични задачи на математическата физика. Този метод води, например, да се намери Sturm решения - Liouville проблем за уравнение [R (х) у ']' + р (х) у = л у, което отговаря гранични условия у (а) + HY "(а) = 0, у (б) + Ну "(б) = 0, където Н и Н - постоянна. Тези решения -. Sc. eigenfunctions на проблема - формоване ортогонална набор от функции с теглото на R (х) в интервала [а, Ь].

Изключително важен клас от ортогонална система от функции - ортогонална полиноми - бе открит П. Л. Chebyshevym в обучението си по метода на интерполация на най-малките квадрати, както и проблема с моменти. През 20-ти век. изследвания на ортогонални системи за функции извършва главно въз основа на интегралната теория и мярката Lebesgue. Това допринесе за разпределението на тези изследвания, независим клон на математиката. Един от основните проблеми на теорията на ортогонална система funktsiy- проблем на разширяването на F функция (X) в серия от формата, където - ортогонална система от функции, ако сложи официално, където - нормализират функциите ортогонална система, както и да дават възможност за по план със срок интеграция. след това се умножи този брой п к (х) R (х) и интегриране от А до В, ние получаваме: (*)

Коефициентите CN. наречените коефициенти на Фурие по отношение на система , има следната екстремални имота: линейна форма най-добре се доближава до тази функция средно. С други думи, на средната квадратична грешка с теглото на R (х):

(*)

Тя е най-малката стойност в сравнение с грешка се дава при същите п други линейни изрази на формата. Следователно, по-специално, то се получава г. Н. неравенство Бесел

Серия с коефициенти по КН. изчислява по формулата (*) се нарича серия Фурие на е (х) на нормализираните функции ортогонални системи . За приложения, е от първостепенно значение въпрос се определя дали уникален функция F (х) от нейните Фурие коефициенти. Ортогонално система от функции, за които тя се извършва, се нарича пълна, или затворен. Условия за системата за затваряне на ортогонални функции могат да бъдат дадени в няколко равностойни форми. 1) непрекъсната функция е (х) може да бъде приблизително от някаква степен на точност средните линейни комбинации на функциите й к (х), т.е. в този случай казваме, че поредицата клони в средната стойност на F функция (х)]. 2) За всяка функция е (х), чиято квадратни интегрируеми от теглото на R (х), състоянието на Lyapunov затворен - Steklov

3) има ненулева функция интегрируеми на интервала [а, Ь] квадратен ортогонални всички функции й п (х), п = 1, 2.

Ако разгледаме квадратни интегрируеми функции като елементи на пространството Хилберт. нормализират функциите на ортогонална система са единичните вектори на координатната система на пространството. и разширяването на броя на нормализираните функции ортогонална система - разширяване на вектора на базисни вектори. При този подход, много от понятията на теорията на нормализирана ортогонална система от функции придобие ясна геометрична значение. Например, формула (*) показва, че прогнозния вектор върху вектор единица е равен на вътрешния вектор продукт и вектор единица; Lyapunov уравнение - Steklov може да се тълкува като питагорова теорема за безкрайно пространство: квадрата на дължината на вектора е сума от квадратите на прогнози си върху осите; закриване на ортогонална система от функции, означава, че най-малкия затворен подпространството. съдържаща всички вектори на тази система, цялото пространство и т.н.

Литература серия Толстов G. P. Фурие, 2-ро издание. М. 1960; Natanson I. P. Конструктивно теория на функциите. М. - L. 1949; неговата същата теория на функциите на една реална променлива, 2-ро издание. М. 1957; серия Джаксън Г. Фурие и ортогонални полиноми, транс. от английски език. М. 1948 Kaczmarz S. Steinhaus, теорията на ортогонална серия, транс. с него. М. 1958.

Също така, можете да научите за.