Общо диференциали диференциални уравнения

Показано е как да се разпознават диференциал обикновено диференциално уравнение на. Методи за решаване на уравненията на общите разлики. Един пример на разтвора от уравнението с обща диференциална по два начина.

Първи ред диференциални уравнения в общите диференциали - това уравнение от вида:
(1)
където лявата страна на уравнението е общата разлика от функция U (х, у) на променливи X, Y:
.
В същото време.

Ако откриете такава функция U (X, Y). уравнението става:
DU (х, у) = 0.
Неговата обща неразделна:
U (х, у) = C,
където C - константа.

Ако диференциално уравнение на първата производна цел се записва чрез:
,
то е лесно да се доведе до форма (1). За да направите това, умножете уравнение от DX. След това. В резултат на това, ние получаваме уравнението изразена по отношение на диференциалите:
(1).

диференциални уравнения общо диференциали имот

За да уравнение (1) е в пълно диференциално уравнение, необходимо и достатъчно за да отговарят на равенство:
(2).

доказателства

Освен това, ние предполагаме, че всички функции, използвани в доказателството се определят и съответните производни в определен диапазон на стойностите на променливите х и у. Точка х 0. у 0 също принадлежи към тази област.

Нека да доказва необходимостта от състояние (2).
Да предположим, че лявата страна на уравнението (1) е диференциален на функция на U (х, у):
.
след това
;
.
От втората производно не зависи от порядъка на диференциацията, на
;
.
От това следва, че. Необходимостта от състояние (2) е доказано.

Ние доказваме, достатъчността на (2).
Да предположим, че състояние (2):
(2).
Ние показваме, че можем да се намери функция U (X, Y). че неговата диференциал:
.
Това означава, че съществува функция U (х, у). който отговаря на уравнението:
(3);
(4).
Ние се намери функция. Интегриране на уравнение (3) X X от 0 до х. Като се има предвид, че у - е постоянна:
;
;
(5).
Разнообразяване по отношение на Y, с изключение, че х - постоянно и прилага (2):

Уравнение (4) е изпълнено, ако
.
Интегрируеми Y от 0 до Y Y:
;
;
.
Заместването в (5):
(6).
Така че сме намерили функция, чиято диференциал
.
Достатъчност.

Във формула (6). U (х 0. Y 0) е постоянна - стойност функция U (х, у) в точка х ш 0. 0. може да се настрои на всяка стойност.

Как да разпознаем диференциал обикновено диференциално уравнение на

Помислете за диференциално уравнение:
(1).
За да се определи дали това е обикновен диференциално уравнение, е необходимо да се провери състоянието (2):
(2).
Ако го държи, а след това обикновено диференциално уравнение. Ако не - тогава това не е обикновен диференциално уравнение.

Проверете дали обикновен диференциално уравнение:
.

тук
.
Диференциране на у. Като се има предвид постоянните х:

.
Диференцируема в х. Като се има предвид постоянното Y:

.
като има предвид:
,
даденото уравнение - общо диференциал.

Методи за решаване на диференциални уравнения в общите разлики

Метод диференциална последователно разпределение

Най-простият метод за решаване на уравненията на общите разлики е методът на последователно диференциална избор. За да направите това, ние прилагаме формулата диференциация, написани на диференциалната форма:
дю ± DV = г (ф ± обем);
V дю + ф DV = г (UV);
;
.
В тези формули, ф и V - произволни изрази, съставени от всички комбинации от променливи.

По-рано, ние открихме, че това уравнение - в общия диференциали. то Конвертиране:
(Р1).
Решаването на уравнение последователно разпределяне диференциал.
;
;
;
;

Метод последователни интеграция

При този метод, ние търсим функция ф (х, у). удовлетворява уравнението:
(3);
(4).

Интегриране на уравнение (3) х. Като се има предвид постоянното Y:
.
Тук φ (Y) - произволна функция на база. да бъдат определени. Тя е константа на интеграция. Заместването в уравнение (4):
.
Следователно:
.
Интегриране, ние получаваме φ (у), и по този начин, U (х, у).

Решете обикновената диференциално уравнение:
.

По-рано, ние открихме, че това уравнение - в общия диференциали. Представяме нотация:
.
Търси функция U (х, у). диференциал, който е в лявата част на уравнението:
.
След това:
(3);
(4).
Интегриране на уравнение (3) х. Като се има предвид постоянното Y:
(А2)
.
Разнообразяване по отношение на Y:

Общият интеграл на уравнението:
U (х, у) = конст.
Ние съчетаваме двете постоянен.

Методът на интеграция по кривата

функция U. определя от съотношението:
Du = Р (х, у) DX + р (х, у) ди,
Тя може да се намери чрез интегриране на това уравнение по крива свързващи точки (х 0. Y 0) и (х, у):
(7).
като
(8)
интеграл зависи само от първоначалните координати (х 0. Y 0) и крайните (х, у) точки и не зависи от формата на кривата. От (7) и (8) получаваме:
(9).
Тук х 0 и у 0 - постоянен. Следователно, U (х 0. Y 0) - е също постоянна.

Пример за такова определение U се получава в отварят свойства на общо диференциално уравнение:
(6).
Тук интегрирането се извършва на първо място в сегмент успоредно у ос. от гледна точка (х 0. Y 0) до точката (х 0. Y). След това се извършва интегриране на сегмент, успоредно на оста х. от гледна точка (х 0. Y) на точката (х, у).

В по-общ случай, че е необходимо да представи уравнението на кривата свързваща точки (х 0. Y 0) и (х, у) в параметрична форма:
х 1 = S (т 1); Y 1 = R (т 1);
х 0 = S (т 0); Y = 0 г (т 0);
X = S (т); у = R (т);
и да се интегрират в един тон от т 0 до т.

Най-просто интеграцията се извършва по сегмент свързваща точки (х 0. Y 0) и (х, у). В този случай:
X 1 = х + 0 (х - х 0) т 1; Y 1 = Y 0 + (у - у 0) т 1;
т 0 = 0; т = 1;
DX 1 = (х - х 0) DT 1; 1 Dy = (у - у 0) DT 1.
След заместване, е получен чрез интеграл от 0 до 1 т.
Този метод, обаче, води до доста тежки изчисления.