Обикновено метод итерация за решаване на системи линейни уравнения (Slough)

Прост метод итерация, наричан още метода на последователното приближение, - математически алгоритъм за намиране на стойностите на неизвестен стойност чрез постепенно го изясни. Същността на този метод е, че, както подсказва името, постепенно изразяване първоначална сближаване на следващите след нея, стават все по-рафинирани резултати. Този метод се използва за намиране на стойността на променливата величина в дадена функция, и решаване на системи уравнения, както линейни, така и нелинейни.

Нека да видим как този метод се прилага в решаването на линейни системи. фиксирана точка итерация алгоритъм е както следва:

1. Проверката на условията на конвергенция в първоначалната матрица. А конвергенция теорема: ако първоначалният система матрица е диагонално доминиращ (т.е., всеки ред на елементите на основната диагонала трябва да бъде по-голяма по размер от сумата на елементи странични диагоналите в абсолютна стойност), методът на прости повторения - конвергентна.

2. матрица на оригиналната система не винаги е най диагонал преобладаването. В такива случаи, системата може да се трансформира. Формулите, които отговарят на условието за конвергенция се оставя интактни, с незадоволителен и да линейни комбинации, т.е. размножават събиране, изваждане, уравнение сгънати заедно до получаване на желания резултат.

Ако получената система в главния диагонал са неудобни фактори, след това от двете страни на това уравнение се добавят по форма CI * XI на, знаците, които трябва да съвпада с признаците на диагоналните елементи.

3. Преобразуване на получената система в нормален изглед:

х - = β - + α * х -

Това може да стане по много начини, например: от първото уравнение, за да изразят x1 чрез друг неизвестен от vtorogo- x2. на tretego- x3 и т.н. Така се използва формулата:

I = BI / AII
Уверете се, че отново, че в резултат на системата на нормален вид отговаря на условието за конвергенция:

Σ (к = 1) | αij | ≤ 1 и I = 1,2. п

4. Започнете да се използва, в действителност, на метода на последователните приближения.

х (0) - начална приближение, ние изрази през него х (1). Освен това от х (1) Х изрично (2). Общата формула на образуват матрица, както следва:

Изчисляваме, докато не достигне желаната точност:

Така че, нека да погледнем на практика метода на проста итерация. например:
Решете линейни системи:

4,5x1-1.7x2 + 3.5x3 = 2
3.1x1 + 2.3x2-1.1x3 = 1
1.8x1 2.5x2 + + 4.7x3 = 4 с точност ε = 10 -3

Вижте има предимство, ако диагоналните елементи на модула.

Виждаме, че условието за конвергенция е удовлетворена от трето уравнение. Първият и вторият трансформира, първото уравнение ние добавяме две:

Изваждане от третата:

Ние сме трансформира първоначалната система в еквивалент:

Сега ние се намали система за нормален изглед:

Проверяваме сближаването на процеса на повторение:

0,0789 + 0,3158 = 0,3947 ≤ 1
0,6429 + 0,2857 = 0,9286 ≤ 1
0.383+ 0,5319 = 0,9149 ≤ 1. т.е. условието е изпълнено.

0.3947
Първоначално сближаване х (0) = 0,4762
0.8511

Заместник тези стойности в уравнението на нормален вид, ние получаваме от следните стойности:

0,08835
х (1) = 0.486793
0.446639

Заместник-нови стойности, които получаваме:

0.215243
х (2) = 0.405396
0.558336

Ние продължаваме да се изчисли, докато, докато не се доближи до стойностите, които отговарят на определени условия.

Проверка на коректността на резултатите:

Резултатите, получени чрез заместване на получените стойности в първоначалното уравнение, напълно отговарят уравнение.

Както можем да видим, прост метод за повторение дава доста точни резултати, но за да се реши това уравнение, ние трябваше да прекарват много време и направи тромави изчисления.