Non-линейни уравнения с едно неизвестно

Числени разтвори на нелинейни уравнения в Mathcad пакет

Насочете. Получите представа за числените методи, използвани интегрирани функции пакет Mathcad за решаване на алгебрични уравнения и трансцедентални и да научат как да използват тези инструменти.

Броят на часовете, посветени на работа. 1

Кратка теоретична информация

Математическият пакет Mathcad има две вградени функции, които изпълняват численото решаване на нелинейни уравнения - корен и polyroots. Нека разгледаме накратко математически техники, които са в основата на работата на тези функции.

Един от най-простите методи вграден корен - Secant метод (метод на Secant). Този метод на изчисление се извършва от повтарящ формула

където Е - точността на изчисленията.

метод Secant развива идеята за метода на Мюлер (метод на Мюлер). При този метод предходните три точки се използват за намиране на следващото сближаване. С други думи, методът използва нелинеен и квадратна функция интерполация. Изчисление формули следния метод:

Знакът на корен квадратен е избрана така, че абсолютната стойност на знаменателя е минимизиран.

В случая, когато известен интервал, който е корен, може да се използват други методи за откриване на разтвора на уравнението.

Методът Ридър (Ridders метод ") функция стойност, изчислена в средата на интервала. , за експоненциална функция След това погледнете. задоволяване на уравнението:

Това квадратно уравнение. разтворът от които може да бъде представена както следва:

След това се прилага метода на акорд, като се използват стойностите. , , и изчисляване на следващото сближаване по формулата

Брент (метод Brent) Начин на бърз метод свързва Ридър и гарантиран метод конвергенция разполовяване интервал. Методът използва обратна квадратичен интерполация, че търси х като квадратна функция на база. На всяка стъпка на локализацията на корена тя е проверена. метод Формула доста тромаво и ние няма да им даде.

Специални методи се използват, за да търсят корените на алгебрични уравнения. Един от начините за решаване на алгебрични уравнения е методът на редуциране на ред. Тя се състои в това, че след като се намери един от корените, уравнението може да бъде разделена. понижаване на негова заповед и преди. След това търсенето се повтаря корен. Помислете два метода за търсене на корените на полиноми.

метод Laguerre (метод Laguerre е) се основава на следните съотношения за полиноми

Смята се, че в основата. което търсим, е на разстояние една от сегашния подход, а всички останали корени се намират на разстояние б. ; , ,

След това, като се вземат предвид разглеждат отношенията на полиномите могат да бъдат написани

Изразяване на тези отношения, както добре. получаваме

Знакът на корен квадратен е избран така, че в знаменателя има най-голяма стойност.

Метод придружаващите матрици (спътник матрица). Методът се основава на факта, че собствените стойности на квадратна матрица A. т.е. такива номера л. за които равенството. Тя може да бъде определена като корените на характеристика полином.

Може да бъде показано, че матрицата

придружаваща нарича матрица характеристика полином ще бъде полином на общата форма. Следователно, проблемът за намиране на корените на полином може да бъде намален на проблема за намиране на собствените стойности на придружаващия матрицата.

Решението на трансцеденталните уравнения

За да се намерят корените на уравнението. където - функция от всякакъв вид, използван корен функция. който има следния синтаксис

Функция определя стойността на променливата х. лежи в интервала. където функцията е нула. Като цяло, функцията може да бъде функция на много променливи. В такова изпълнение основната функция използва алгоритми Ридър и Brent.

корен функция може да се нарече, без интервал. но в този случай, променлива х трябва първо да зададете начална стойност (т.е., задаване на начално приближение). В този случай, методът на пресичащи се за изясняване на корен.

Точност на изчисления е определено в Mathcad вградена променлива TOL. По подразбиране стойността му е равна на 0.001. Тази стойност може да се променя или чрез менюто Math / Опции / Вградени променливи, или директно в текста, например: TOL: = 10 -9.

Като пример, ние откриваме корените на уравнението. За да започне изобразяват графика на интервала.

В предварително определен интервал два пъти функция изчезва, т.е. уравнение има две корени. Уточнете тях с помощта на основните функции с точност.

По принцип, корен функция (F (х), х) трябва да намери корен най-близо до първоначалното приближение х. За съжаление, това не винаги е така. Ако е избран първоначалната сближаване, и по-лошо качество на производното в този момент е близо до нула, то обикновено се намира в основата не може да бъде най-близкото сближаване на оригинала. Като пример, избират своя корен на проблема с намирането на уравнението. избиране като първоначална приближение до броя на близо. Колкото по-близо до избраната стойност, толкова по-далече от 0 корена ще получим.

Решение на алгебрични уравнения

polyroots функция на (а) намиране на всички корените на алгебрични уравнения. коефициенти са записани в вектор. Първият елемент на вектора съответства коефициент. вторият - в т.н. polyroots функция може да се използват два различни корени на търсене алгоритъм - Laguerre метод и метода на придружаващите матрица. методи на превключване, извършвани в контекстното меню, което се появява, като щракнете с десния бутон на мишката, докато показалецът се задава името на функцията.

Като пример, използването на polyroots функция ще намерите корените на уравнението:

Задача 1 актуализиране на корените на двете уравнения (Таблица 1) с помощта на главната функция с точност до използването му в две изпълнения (уточнява корен сегмент локализиране и определяне на първоначална приближение). За всеки уравнение преди парцел функцията.

Задача 2. Намерете всички корени на даден алгебрични уравнения (вж. Таблица 2).

Като задачи документи Mathcad на доклад за напредъка, представено за печат.