Многократното независимо тестване

Многократното независимо тестване. Бернули формула.

Да разгледаме случая на множество повторения на едно и също изпитване или случаен експеримент. Резултатът от всеки тест ще се разглежда като независима от това, което в резултат дойде в предишните тестове. Тъй като резултатите или резултатите на всеки отделен елементарни тестове ще се разграничи само две възможности:

1) настъпване на събитие А;

2) настъпване на събитие

1AppDataLocalTempmsohtmlclip1 ">, (събития се добавят А)

Нека вероятност Р (А) настъпване на събитие, А е постоянна и равна на P (0 п р п-х, независимо от реда, в който тези пластове единици X и п-х нули.

Всички събития, състояща се в това, че в н проучвания случай, че са настъпили х пъти и събитието

1AppDataLocalTempmsohtmlclip1 "> настъпило п-х пъти са несъвместими. Следователно, за да се изчисли вероятността за интегриране на тези събития (или сумата от тези събития), необходими за комбиниране на вероятностите на всички тези събития, всеки от които е равна на р п р п-х 1AppDataLocalTempmsohtmlclip1 ">. Броят на тези събития може да се счита като много е възможно да образуват различни последователности с дължина п, съдържаща х цифри" 1 "и п-х на брой" 0 ". Такава последователност се получава като редица начини да се поставят х номерата на" 1 "( или п-х на брой "0") в местата на N, т.е. броят на тези последователности е Следователно, формулата на Бернули:

Pn (х) =

Според уравнение на Бернули се изчислява вероятността за събитие А "х" Повторно п пъти в независими изпитвания, където р - вероятността от настъпване на събитие А в един тест, р - вероятност за поява събитие 1AppDataLocalTempmsohtmlclip1 "> в същия тест.

Формулирани тестови условия, понякога се квалифицират като "схемата на повторни независими проучвания" или "Бернули схема"

X брой повторения на събитие в н повтори независими проучвания, се нарича честота.

Пример. От урната съдържащ 2 бели и черни топки 6, избрани на случаен принцип с връщането на 5 последователни една топка. Изчислете вероятността, че се появява 4 пъти бялата топка.

В горния нотация п = 8; р = 1/4; Q = 3/4; х = 5. Желаният вероятността се изчислява съгласно формулата на Бернули:

Според формулата на Бернули може да изчисли вероятностите на всички възможни честоти: х = 0,1,2,3,4,5.

Бернули формула когато р и п предварително определени номера дава възможност за изчисляване на вероятността за всяка честота х (0 £ х £ п). Въпросът естествено възниква, каква честота ще съответства най-вероятно?

Да приемем, че съществува такава честота, и тя ще се опита да се определи от условието, че вероятността за тази честота е не по-малка от вероятността "предишните" и "надолу по веригата" честоти:

Първият неравенство (*) е представен като:

което е еквивалентно на

1AppDataLocalTempmsohtmlclip1 "> или . 1AppDataLocalTempmsohtmlclip1 "> Следователно:

Решаването на втория неравенството (1), получаваме

По този начин, честота с най-голяма вероятност (най-вероятната честота) определя от неравенството двойно

Ако NP + р - число (ако и NP-р - цяло число), двете честоти: х = NP-р и х = п р + р имат най-голяма вероятност.

1. Всеки ден акциите на корпорацията ABC покачване в цената или спад в цената с една точка с вероятности на 0.75 и 0.25 съответно. Намерете вероятността, че акциите след шест дни обратно към първоначалната си цена. Приемам условието, че цената на акциите се променя нагоре и надолу - независими събития.

Решение. За да архивирате акции в продължение на 6 дни, за да оригиналната си цена, е необходимо, че през това време те са се увеличили 3 пъти цената и три пъти по-надолу в цената. Необходимата вероятността се изчислява от Бернули

2. Motors многодвигателен самолет се провали по време на полет, независимо един от друг с вероятност стр. На многодвигателни самолети продължава да лети, ако работите най-малко половината от неговите двигатели. За какви стойности на стр двумоторен самолет по-надежден самолет с четири двигателя?

Решение. Двумоторен самолет се разби, ако отричат ​​и двете му двигател. Това се случва с вероятност р 2 с четири двигателя на самолети катастрофи, ако се провали всичко двигателя 4 и това се случи с вероятност р или 4. провали три двигатели 4. Вероятността за последния случай се изчислява съгласно формулата на Бернули:

1AppDataLocalTempmsohtmlclip1 ">. За двумоторен самолет е по-безопасно, отколкото с четири двигателя, е необходимо, че неравенството

р 02 Април + 4P 3 (1-р)

Това неравенство намалява до неравенство (3P-1), (р-1) 1/3. Трябва да се отбележи, че ако вероятността от по-голям от една трета, идеята за използване на въздухоплавателни средства се за провал пътнически самолет на двигателя ще бъде много под въпрос.

3. Екип от десет души говорим за вечеря. Има две еднакви маса, и всеки член независимо един от друг отбор идва на вечеря в някой от тези столове. Ако една от вечерящите случайно дойде повече посетители, отколкото е случаят, има опашка. Това, което е най-малкият брой на местата трябва да бъде във всяка една от трапезариите на вероятността от опашката е по-малко от 0.15?

Решение. Решение на проблема трябва да се търси възможности грубата сила. Първо, ние се отбележи, че ако 10-те места, появата на опашката не е възможно във всяка трапезария. Ако трапезарията всеки за 9 места, на опашката ще възникнат само в случай, че всички 10 потребители ще получат в една супена лъжица. От условията на проблема това предполага, че всеки член на екипа избира тази трапезария с вероятност от 1/2. Следователно, всички събрани в една таблица с вероятност 2 (1/2) 10 = 1/512. Този брой е много по-малко от 0,15, както и изчисляването трябва да се извършва в продължение на осем хранене. Ако всеки от трапезарията е с капацитет 8, на опашката ще се случи, ако всички членове на екипа влизат в една таблица, вероятността за това събитие вече се изчислява, или 9 души отиват в една маса, и още 1 човек ще избере най-трапезария. Вероятността от това събитие се изчислява по формулата на Бернули

1AppDataLocalTempmsohtmlclip1 ">. Така, ако в помещението за хранене за 8 места, на опашката се случва с вероятност от 11/512, която все още е по-малко от 0.15. Да предположим сега, че във всяка една от трапезариите до 7 души. Отделно от двете възможности, разгледани в този случай всички да възникне, ако един от 8-те супени лъжици достатъчно хора, както и в още 2 души. това може да се случи, с вероятност . 1AppDataLocalTempmsohtmlclip1 "> Така, в този случай всички настъпва с вероятност от 56/512 = 0,109375 -9» 0,0111; б) 2. 4. а) 0238; б) 14, в)

0.192. 5. а) 0,93; б) 0677; в) 0.382; г) 0167.