Метрични пространство, математика, задвижвани от общността на феновете на Wikia

Официалното определение на правото

А метрично пространство е набор от М точки на функцията на разстояние (наречена също показател) (в която представлява набор от реални числа). За всички точки х. у. Z М на тази функция трябва да отговаря на следните условия:

г (х. у) ≥ 0
г (х. у) = 0 х = у.
г (х. у) = г (у. х) (симетрия)
г (х. щ) ≤ г (х. у) + г (у. щ) (триъгълник неравенство).

Тези аксиоми отразяват интуитивна представа за разстоянието. Например, разстоянието трябва да е неотрицателно и разстоянието от х до у е същата, както и от база до х. неравенството на триъгълника означава, че отиват от х до Я може да бъде по-кратък, или поне не по-дълъг от първия пас х до у. и след това от база до Z.

примери Редактиране

В отделен показател. г (х, у) = 0, ако х = у. и г (х, у) = 1 във всички останали случаи.

Реални числа на разстояние функция г = | у - х (X г.) | Евклидово пространство и са пълни метрично пространство.

Manhattan се или град показателя: координатната равнина, което разстояние се определя като сума от разстоянията между координатите. По-общ пример: всяко Normed пространство може да се превърне показател, определяне на разстояние функция г = || у - х ||, в случай на ограничен размер се нарича Минковски [1] (да не се бърка с друг пространство Минковски) (х у). ,

Така нареченият френски жп метриката е пример, който често се цитира като пример за метриката не се генерира норма.

Всеки свързан Риманова колектор М може да бъде превърнато в метрично пространство, определяне на разстоянието като infimum на дължините на пътищата свързващи двойка точки.

Всеки набор от върховете свързани графика G може да бъде превърнато в метрично пространство, определяне на разстоянието като минималният брой ръбове в пътя свързващ върховете.

Множество от компактни подгрупи К (М) всяко метрично пространство М може да бъде превърнато в метрично пространство, определяне разстояния с помощта на така наречените Хаусдорфова показател. В тези две метрични подгрупи са близо един до друг, ако за всеки един комплект може да бъде намерена в близост до точката, в другата подгрупа. Тук е точна дефиниция:

D (X. Y) = infr: за всички X в X съществува в Y с у г (х у). .

Наборът от всички компактен метрично пространство (до isometry) могат да бъдат превърнати в метрично пространство, определяне разстояния с помощта на така наречените показател Громов - Хаусдорфова.

Свързани определяне Редактиране

Показател пространство се нарича пълна. ако всеки основен последователност клони към елемент на пространството.
В показател г на М се нарича вътрешен. ако всеки две точки от х и у в М могат да бъдат свързани с дължина на крива произволно близо до г (х. у).
Всеки показател пространство има естествен топология. в основата на който е набор от отворени топки. т.е. комплекти от следния вид:

В (х; R) = у в М: г (х, у) , където х е точка в т и г - положително реално число се нарича радиус на топката. С други думи, на снимачната площадка е отворен, ако за всяка точка съществува положително число такова, че множество точки на разстояние от долната част.

Две показатели, които определят същата топология са еквивалентни.
А топологично пространство, което може да се получи по този начин се нарича metriziruemym.
Rasstoyanied (х, S) от tochkixdo podmnozhestvaS до М е дадено от:

г (х, S) = infd (х, S): и ∈ S> тогава г (х S.) = 0, само ако X принадлежи към приключването S.

Понякога счита със стойностите на показател [0, ∞]. За такова показател можем да видим крайната показател г '(X. Y) = г (х. Y) / (1 + г (х. Y)) или г' '(х. Y) = минути (1 г (х . у))). Тези метрично пространство имат същата топология.

Редактиране на имоти

Компактен метрично пространство, ако и само ако някоя от точките на последователността конвергентна на последователност.
Метрични пространство не може да има изброимо база. но винаги удовлетворява първия countability аксиома - изброимо база във всяка точка.
- Освен това, всеки показател пространство съществува база, че всяка точка от пространството има само изброимо множество от нейните елементи - точка броим основа (по-слаба, но този имот дори и в paracompactness наличието metrizability и Хаусдорф).
- Освен това, всеки CD даден показател пространство има изброимо квартал база.

Вариации и обобщения Редактиране

За този набор, функцията се нарича псевдо-метричен на Ако по някаква точки х. у. Z на М отговаря на следните условия:

Това означава, че за разлика от показателите, различна гледна могат да бъдат разположени на разстояние нула. Pseudometric естествено определя показател за отношението къде.

Показателят на пространството, наречен ultrametric. ако отговаря на силното неравенство триъгълник.

правна история

Moris Freshe първи въвежда понятието за метричен пространство в работата си Sur quelques посочва дю Calcul fonctionnel. Rendic. Circ. Мат. Palermo 22 (1906) 1-74, във връзка с функционалните пространства.