Math идентичност трансформации тригонометрични изрази

Идентични трансформации тригонометрични изрази

Основни формули на тригонометрията

Превод степен мярка на ъгъла в радиани и обратно.

Нека α - степен измерване на ъгъл, β - радиана, след следните формули:

За първи път се разгледа доста проста задача за прилагане на тригонометрични формули.

Оценяване на греха α, ако защото α = 0,3, α - ъгъл в първи квадрант.

Прилагаме Питагоровата тригонометрични самоличността свързване тригонометрични функции.

Тъй като хипотеза проблем защото α = 0,3, че COS 2 # 945; = 0.09. Така че, греха 2 # 945; + 1 = 0.09, грях 2 # 945; = 1 - 0.09 = 0.91. Решаването на уравнение греха 2 # 945; = 0,91, получаваме по двете дела (), от които, като се обръща внимание на една четвърт принадлежи на желания ъгъл, а след това изберете една. Спомнете си, че през първото тримесечие на всички тригонометрични функции имат знак "+". Следователно ,.

Изчислява се стойността на TG α, ако CTG α = 0,2.

Използвайте формула, свързана с тригонометрична функция Y = TG α, у = CTG α. TG α # 8729; CTG α = 1. Заместването на предварително определена стойност на състоянието на 0.2, ние откриваме, че TG α # 8729; 0.2 = 1, от TG α = 5.

1) се използва свойството на периодичност на функция у = грях х. след това.

2) След периода на функция у = TG х е равно на П, ние получаваме.

3) 75 ° представлява сумата от два "удобни" условия: 75 ° = 45 ° + 30 °. Следователно ,. Позовавайки се на стойностите на масата на тригонометричните функции, ние се получи.

4). Накрая стигаме това.

5) За да се изчисли стойността на COS 15 ° 15 ° представляват и двете 15 ° = 45 ° - 30 ° (или 15 ° = 60 ° - 45 °). След това. Обръщайки се в непосредствена близост до таблични стойности на тригонометричните функции. Получаваме това. Следователно,.

Отделна група от работни места, които съставляват тип работа изчисляване на тригонометрични функции на някой друг добре познат.

Известно е, че грехът α - защото α = 0,3. Намерете:

2) грях 4 # 945; + Cos 4 # 945; ;

3) грях 6 # 945; + Cos 6 # 945; ,

1) Squaring двете страни на предварително определено състояние в Пример равенство и използва формулата "квадрат разлика", ние получаваме, че:

греха 2 # 945; - 2sinα cosα + защото 2 # 945; = 0.09.

Припомнете Питагоровата тригонометрични идентичност и прилага синуса на формулата за двойно ъгъл:

1 - 2 грях # 945; = 0.09, където:

греха 2 # 945; = 1 - 0.09 = 0.91.

2) Ние използваме че полученият резултат за отговора на въпрос 2.

За тази сума на греха 4 # 945; + Cos 4 # 945; ще представи по специален начин:

грях 4 # 945; + Cos 4 # 945; = (4 Sin # 945; 2 + 2 грях # 945; защото 2 # 945; + Cos 4 # 945; ) - 2 греха 2 # 945; защото 2 # 945; = (Sin 2 # 945; + Cos 2 # 945; ) 2 - 1/2 # 8729; 2 грях 2α = 1 - 1/2 # 8729; 0.91 = 0.545.

3) Имайте предвид, че за да се изчисли стойността на изразяване греха 6 # 945; + Cos 6 # 945; Тя може да се представи като сума от кубчетата.

грях 6 # 945; + Cos 6 # 945; = (Sin 2 # 945; ) 3 + 2 (COS # 945; ) 3 = (син 2 # 945; + Cos 2 # 945; ) (Sin 4 # 945; - греха 2 # 945; защото 2 # 945; + Cos 4 # 945; ) = 1 # 8729; (0.545 - 1/4 # 8729; 0.91) = 0.3175.

Можем да потвърдим, че за салатка α = 0 дадено уравнение, е неправилно. Поради това е необходимо да се разделят на числителя и знаменателя на фракцията на COS а (на базата на основните свойства на фракции):

разкриване на скобите са посочени такива условия:

3tgα + 4 = 5tgα - 10, 2tgα = 14, ние откриваме, че tgα = 7.

Изчислява защото α, ако cos2α = 3/4 и

Известно е, че. Нека да се определи степента, в която ъгълът α лъжи и какви знак по този начин има своя косинус. Трансформирайте посочено в проблем двойно неравенство. Разделяне същото време, и трите на двойно неравенство 2, получаваме:

, т.е. ъгълът а е в второто тримесечие, и следователно, защото а <0.

В горната формула изберете знак "минус":

Намерете стойността на изразяване.

Извършва опростяване всяка фракция отделно.

За да се намали фракция като се използва формула "разлика кубчета" и получаване на:

Помислете за по-нататъшно изразяване. Трябва да се отбележи, че първите трети термини в сумата е този, който е в сила основните тригонометрични самоличността. По този начин:

Превръщане до втората фракция трансформация. Нанесете едно впръскване от формулите. Ето защо:

Изчислява sin10 ° sin30 ° sin50 ° sin70 °.

Използвайте формула преобразуване продукти на тригонометрични функции в сума: sin10 ° sin50 ° = 1/2 (cos40 ° - cos60 °) = 1/2 COS 40 ° - 1/4. Заместник на оригиналното произведение е израз на и се вземе предвид, че sin30 ° = 1/2, получаваме:

Разгледайте следните примери за опростяване на тригонометрични изрази с произволна аргумент.

Тъй като в числителя на фракцията са дали доста проста форма, нека започнем с опростяване на знаменателя. За да направите това, се прилага идеята:

Тук фракции, получени разлика под общ знаменател:

Докажете за самоличност, когато

По-специално, в този пример, ние се опитваме да се опрости от лявата страна, за да получите един и същи вид, както е в дясно. За тази цел се размножават числителя и знаменателя на radicand 1 + грях алфа на:

Спомни си, че, получаваме

Ние допълнително разглеждане на знака на изразяването на числителя и знаменателя podmodulnogo:

грях α ≥ 1, след това 1 + грях α ≥ 0 така;

По същия начин, втори мандат трансформира лявата страна:

QED.

Намерете стойността на следните тригонометрични изрази: грях 2а, защото 2α, TG 2α, ако.

Пишем формулата за изчисляване на необходимите функции:

От основните тригонометрични самоличността изчисли:

След това намери стойностите на желания израз:

Тук е от лявата страна на 1:

Изчислява се стойността на израза:

Моля, имайте предвид, че

Освен това, с помощта на формулата задействане, получаваме:

Ние използваме най-таблични стойности на тригонометрични функции и свойства:

По този начин стойността на експресията е 0.

Удобно за решаване на такива проблеми направи промяна (например, α = arcsin х) и работата с повече познат обект - ъгъл α, който се намира в първата или четвъртата четвърт на тригонометрични окръжност, чийто задължително е равна на х. В този случай, се оказва, че задачата е много по-лесно, отколкото изглежда, първо.

Изчисляване на COS (4arctg 5).

Нека α = arctg5. След това TG α = 5. Задължително да намерите cos4α. Ние изчисляваме първата cos2α. използване на универсалния заместване:

След това ние откриваме, че:

Изразете чрез функциите на обратните

Да. Ъгълът е в четвъртото тримесечие, следователно, защото α> 0.

Намери всички тригонометричните функции на ъгъла:

През четвъртото тримесечие на допирателната дъга са отрицателни числа, така че може да се твърди, че.

Но, както дъгата косинус на положителни числа принадлежат към първото тримесечие. Чрез паритет косинус COS (-α) = защото α, в същото време, т.е. време.

Inverse котангенс на отрицателни числа са разположени във втората квадрант. Например, следователно. Така ъгъла а се изразява чрез обратната функция.

Намери arcsin (грешим 12).

Според проблема е необходимо да се намери ъгъла чиито задължително е равно на синуса на ъгъла в радиани 12 и който принадлежи към интервала. Имайте предвид, че така.

Тъй ъгъл 12 - 4π е желания ъгъл, неговото задължително равно на грях 12 и се намира в района на възможните стойности аркуссинус.

Отговор: arcsin (sin12) = 12 - 4π.

Представяме два ъгъла: И двамата са през първото тримесечие, а след това всички на тригонометричните функции са положителни. Ние знаем, че. Вие искате да намерите синуса на сбора на тези ъгли, но тя трябва да знае своите Синиш и уют.