Математически анализ

Потенциал област. Ако в полето вектор, а след това той се нарича потенциал скаларно поле и по този начин си потенциал. Най-известният пример на такава кореспонденция е електрическо поле с интензивност, при което - електрическия потенциал област. По-малко във формулата е свързан с историческия избор на посоката на вектора на напрежението от плюс до минус, когато е бил в състояние да търка козината на кехлибар, но не знам как да го опиша математически.

Пример 1. Изследване на потенциал поле.

Условия за потенциална сфера. Нека скаларна поле, и тази функция е два пъти непрекъснато диференцируема. Припомнете си, че в този случай смесени частични производни от втори ред не зависи от порядъка на диференциация. Изчислима.

Лесно е да се види, че нула самоличността получена при тези условия. Това означава, че ако областта е потенциал, то.

Пример 2. Изпитване на потенциал областта.

Изчисление на потенциал поле вектор. Ако бяхме убедени, че потенциално поле, т.е. ротора му е нула, това е от интерес за изчисляване на потенциала на тази област. За това, ние считаме линия неразделна в този вектор е: където А и В - началната и крайната точки на кривата. Тъй като скаларен продукт на вектори и е общо диференциални функции. Поради това, свойствата на линия неразделна това следва, че. Смисълът на формулата се получава, че работното поле за преместване на материали от точка А до точка Б не зависи от пътя на интеграцията, но само на началните и крайните точки, по-точно, потенциалната разлика в тези пунктове. Концепцията на потенциалната разлика е добре позната в областта на физиката. За да се изчисли потенциала на полето в произволна точка в първоначалния изберете тип, от която да започне обратно броене (по физика често - точката, в безкрайност). След това. Тъй като интеграл не зависи от пътя на интеграцията, а след това ние го приемаме като е удобно, първо успоредно на оста 0x, а след това успоредно на 0y накрая паралелно 0z. Обозначаващ, получаваме:

Тук - компонентите на полето на вектора. Тъй като изборът е произволна начална точка на потенциалното поле се определя до произволна константа, която се определя от физически съображения.

Пример 3. Изчисляване на капацитет на полето на вектора.