Линеен матричен трансформация

Линейни (вектор) пространство

Да предположим, че - множество от елементи, за които операциите на събиране и умножение от редица, и тези операции имат следните свойства.

За всички елементи. , от многото

1) (commutativity);

2) (допълнение асоциативност);

3) съществува в множество нула елемент, така че за всеки елемент. (Елемент нула съществува);

4) за всеки елемент елемент. така, че (наличието на обратна елемент);

Реални числа за всякакви произволни елементи. от множеството;

7) Разпределение закон;

Определение. Комплектът се нарича права (вектор) пространство, и нейните елементи се наричат ​​вектори.

Примери на пространство вектор е набор от реални числа, набор от вектори на самолета в пространството, матрица и т.н.

Ако броят на операциите за събиране и умножение са дефинирани за реалните елементи, линейната (вектор) пространство е реално пространство, ако елементите за комплекс - комплекс пространство.

Свойства на линейни пространства

1) Всеки линеен пространство има само един елемент нула.

2) За всеки елемент, има само един елемент, противоположна на него.

3) трябва за всеки елемент х;

4) За всеки и равенството х;

5) Ако. или нещо такова;

Определение. Смята се, че в линеен пространство са дадени линейна трансформация на A. ако всеки елемент на определено правило е свързан елемент.

Определение. Трансформация се нарича линейна. Ако по някаква вектори ф и всички равенства

Определение. Линейно преобразуване се нарича идентичност. ако го преобразува всеки елемент на линеен пространство.

Пишем на трансформация за произволен елемент. А = +. Проверете дали правило операция освен това се осъществява за тази трансформация: Очевидно е, че това уравнение е вярно само ако Нелинейна тази трансформация.

Определение. Ако има място във векторите на линеен превръщане. От друга векторът е линейна комбинация от вектори.

Определение. Ако само когато. тогава векторите се наричат ​​линейно независими.

Определение. Ако линеен пространство има п линейно независими вектори и всеки от векторите са линейно зависими, след това пространство се нарича п двумерен. набор от линейно независими вектори се нарича основа на линеен пространство.

Следствие. Всеки вектор на пространството за вектор може да бъде представена като линейна комбинация на базисни вектори.

Линеен матричен трансформация

Да - триизмерна линейно пространство с основа. ..., дадена линейна трансформация на А. След векторите. ... - са вектори на това място, и те могат да бъдат представени като линейна комбинация на базисни вектори:

В този случай матрицата се нарича матрицата на линеен preobrazovaniyaA. Нека = + ... + - произволен вектор в пространството. след това

Тези уравнения са наречени линейна трансформация в основата. ...,.

В матрична форма

Пример. Виж линейна матрица трансформация определен като

На практика, действието на линейни трансформации са сведени до действията на техните матрици.

Определение. Ако векторът се прехвърля във вектора с линейна трансформация матрица А и вектор във вектор с линейна трансформация матрица Б. последователното прилагане на тези трансформации е еквивалентна на линейна трансформация като векторът във вектор (това се нарича компоненти на продукта трансформации).

Пример. При един линеен трансформация се вектора във вектор и трансформира линейна трансформация вектор V. във вектора. Виж матрицата на линейна трансформация, която се превръща вектор във вектор.

Забележка. Ако трансформацията е единствено число.