Line интеграли - решаване на проблеми, контролни

Крива AB, определена от параметрични уравнения наречени гладка ако функции и имат непрекъснати производни на интервала, и където, ако съществуват крайните точки на сегмента включително тези производни или не изчезват едновременно, кривата I наричаме по части гладка. Нека AB - плоска крива, гладка или Ку-сочни-гладка. Нека е (М) - функция на крива AB или в някои област D, съдържащ крива. Разглеждане на дяла на крива в част от точки (фиг. 1). Ние избираме на всяка от дъгите А ^ В + и произволна точка Mk и формират сумата където Alt - дължината на дъгата и да го наричаме неразделна сумата от F на функция (М) към дължината на дъгата на кривата. Нека L / - най-голямата izdlin частични дъги, т.е., на свойствата на криволинейни интеграли от 1-ви вид за космически криви криволинейни интеграли от 2-ри вид Изчислената линия неразделна връзка между свойствата ниви Определението ... Ако общата сума на (I) има ограничен срок, който е независим от всеки метод на разделяне част AB на кривата, или чрез избиране на точки на всеки от краищата на преградата, това ограничение се нарича линия неразделна \ -ти вид на функцията F (М) крива AB (интеграл на дъга дължина на кривата) и се означава в този случай функцията / (М) по крива наречен интегрируеми AVU крива се нарича по веригата на интеграция, а - първичен, Б - крайна точка на интеграция. По този начин, по дефиниция, Пример 1. Да по гладка крива L е разпределена на променливата линейна маса плътността на J (М). Намери тегло М на кривата L. (2) се разделят на крива L в п произволни единици) и се изчислява на приблизително тегло но всяка част, ако се приеме, че плътността на всяка част е постоянна и равна плътности в някой от неговите точки, например, в крайна наляво точка / (Af *). След това сумата ksho където D / г - дължина Az на втората част, е приблизителна стойност на масата М е ясно, че грешката ще бъде по-малък, по-фини кривата на разлагане L. В граница N -. 0 * (D / = макс L / ») точна маса получи цялата L, т.е. крива Но ограничението на правото е на линията интеграл от първи вид. Така че, 1.1. Съществуването на една линия интеграл на първо вида Да приемем по крива AB параметър за дължината на дъгата Аз, измерено от началната точка А (Фигура 2). След кривата AB може да бъде описан от уравнения (3), където L - дължина на кривата AB. Уравнения (3) уравнения се наричат ​​природен крива AB. В прехода към естествени уравнения функция е (х> у) се определя от кривата AB ще бъде намалено на променлива функция I: / (х (1)> у (1)). Обозначаващи стойността на параметъра I, съответстващо на точката ISU изчакайте неразделна сумата (I) под формата Това - неразделна сума, съответстваща определен неразделна Тъй като интеграл на сумата (1) и (4) са mezhdusoboy след равна на интегралите съответстващи на тях. По този начин, (5) теорема 1. Ако / (М) по непрекъснат гладка крива AB, тогава има линия неразделна (тъй като е определен неразделна в уравнение (5) право при тези условия). 1.2. Свойства на линия интеграли на първо вида 1. формата на интегрална сума (1), че това е стойността на линия интеграл от първия вид е независима ог посока на интеграция. 2. линейност. Ако за всяка функция / () има линия неразделна по крива АВТ за функцията и /, където а и / 3 - всяко постоянно, има и линия неразделна по кривата AB> 3. където адитивност. Ако крива AB се състои от две части и функцията / (М) е на линия интеграл на AVU след интегралите 0 и 4. Ако на кривата AB, след това 5. Ако функцията е интегрируеми на крива AB, функцията || Също така е интегрируеми на AB, и в същото време б. Формула средно. Ако функцията / е непрекъсната по протежение на кривата AB, а след това тази крива има точка на г-жа, така че където L - дължина на кривата AB. 1.3. Изчисляването на линия интеграл от първия вид Нека кривата AB е дадено от параметричните уравнения и точка А съответства на стойност тон = да, и точка Б - стойност. Предполагаме, че функциите) са непрекъснати по заедно с неговите производни, и неравенството тогава крива дъгата на разлика се изчислява по формулата По-специално, ако кривата AB е дадено изрично уравнение непрекъснато диференцируема на [а, Ь] и точка А съответства на стойност х = А, точка в - стойността на х = 6, след като х като параметър, получаваме 1.4. Криволинейна интеграли на първи вид пространствени криви за определяне на линия интеграл на първи вид посочено по-горе за плоска крива стенографски за случая, когато F функция (М) се определя по пространствена крива AB. Нека кривата AB е дадено от параметричните уравнения свойствата на линейни интеграли на първо вид за космически криви криволинейни интеграли от втория вид Изчислената линия неразделна комуникационни свойства между Тогава линията неразделна взети заедно кривата може да бъде намалена до определен интеграл с малко помощ от следната формула: Пример 2 Vychislitkrivolineyny неразделна където L - контур триъгълник с върхове в точка * (Фигура 3). Чрез имот добавка трябва да се изчисли всеки от интегралите отделно. Тъй като сегментът има ОА. В сегмента на Академията на науките има. и след това от фиг. На последно място, поради това, коментар. При изчисляването на интегралите, ние използвахме собственост на една, според която. Криволинейна интеграли на втория вид Нека А Б - гладка или по части гладка ориентирана крива в равнината х-у и нека - вектор функция дефинирана в даден домейн D, съдържа кривата AB. Разделете кривата AB част на точките, чиито координати са отбелязани с (фиг. 4). На всеки от elementarnyhdug Akaka + \ вземем произволна точка и формират сумата Нека L / - максимална дължина на определението на дъги. Ако сумата от (1) има краен срок, не зависи нито от метода за разделяне на кривата AB, нито изборът RJK точки) на елементарни дъги, тази граница се нарича линия неразделна 2-града от вектор-ценен функция на кривата AB и е обозначен с така по дефиниция теорема 2. Ако в определен диапазон D, крива AB включващ непрекъсната функция, тогава съществува линия неразделна 2-града. Нека - радиус вектора на точка М (х, у). Тогава подинтегрален в уравнение (2) може да бъде представена като скаларно произведение на вектори на F (М) и д-р. Така че интеграл от втори вид векторни функции на крива АБ може да се запише за кратко, както следва: 2.1. Изчисляването на линия интеграл от втория вид Нека кривата AB се определя от параметричните уравнения, където се изпълняват функциите са непрекъснати, заедно с неговите производни на сегмента. където промяна на параметър Т от t0 до т \ съответства на движение на точката на кривата AB от точка А до точка В. Ако в определен диапазон D, крива AB, включваща непрекъсната функция, тогава линия интеграл на вторият вид е следният определен интеграл: По този начин, изчисляването на линията интеграл на втория вид също може да бъде намален до изчисляване на определен интеграл. О) Пример 1. Изчислете интеграл по праволинеен сегмент свързване на две точки) по протежение на параболата. свързване на същия тънък) линия параметър уравнението, където Така 2) уравнението на линията AB: Поради това се счита например помазва, че стойността на линия интеграл от 2-ри тип, най-общо казано, zavisitot оформи пътя на интеграцията. 2.2. Свойствата на криволинейни неразделна и втория вид 1. Линейност. Ако има свойства на криволинейни интеграли от първи вид на пространствени криви криволинейни интеграли от 2-ри вид Изчислената линия неразделна връзка между свойствата за реална добре и / 5 съществува и едно цяло с 2. Additenost. Ако кривата AB е разделена на части от Африканския съюз и Съвета за сигурност и интеграл на линията съществува, освен това има и интегралите последния имот soitvggggnusg физическа интерпретация на линия интеграл от 2-ри вид Ка поле работна сила F по пътя: когато посока deshkeniya на работа крива силово поле по протежение на кривата промени подписват. 2.3. Комуникацията между криволинейни интеграли на 1-ви и 2-ри вид разгледаме линия интеграл от втория вид, където ориентирана крива AB (A - отправна точка Б - крайна точка) е определено vekgornym уравнение (тук съм - дължина на кривата, измерена в посоката, в където кривата АВ) (фиг. 6) е ориентиран. Тогава или р, където R = R (1) - единичен вектор допирателна на на крива AB в точка М (1). След това, имайте предвид, че последният интеграл в тази формула - линията интеграл от първи вид. При смяна на ориентацията на крива AB единица допирателна вектор ж се заменя с противоположния вектор (Z), което води до промяна в знак на подинтегрален, а оттам и знака на интеграла.