Leohardo да vihchi

AHTOHYUK PN ЗЛАТЕН SECHEHIE - математика TERMIH LEOHARDO ДА VIHCHI

"Нека никой не ми се чете на базата на моя човек, който не е математик," - каза Леонардо да Винчи, за да перифразирам мотото на Академията на Платон "Negeometr Да не влезе!" С тези думи той изразява отношението му към математиката, лихви, в която до голяма степен се формира под влияние на своя приятел, италианския математик Лука Пачоли. В края на XV век. Леонардо да Винчи въвежда термина "златна точка", което означава, подразделение сегмент на две части, когато голяма част от него е средна геометрична на всички от сегмента и долната му част. Често под златното сечение, за да се разбере ирационално номера

равен на съотношението на по-големи и по-малки части на сегмента.

Ирационално число τ са били известни много по-рано. Още Евклид, използвани в строителството на златното сечение десен 5- и 10-gons и две редовни polyhedra Платон, додекаедър и icosahedron 1. Golden раздел използва широко в практиката и геометрията, най-вече в архитектурата. През 1509 във Венеция Пачоли публикува книгата "Божествената Пропорция", съдържащ теорията на геометрични пропорции 2. Пачоли 13 показва свойствата на Божествената Пропорция (златното сечение), в чест на 12-те апостоли и учители на Исус Христос, и твърди, че за да се изброят всички имоти божествена пропорция не би било достатъчно, за мастило и хартия. Леонардо да Винчи рисува за тази работа, в това число 59 снимки на polyhedra.

Италиански математик Леонардо Pizansky (Фибоначи), публикувано в 1202 "Книга на Абакус" - трактат по аритметика и алгебра. В тази книга, ние ще обсъдим въпроса за развъждане на зайци. Месечното увеличение на броя на двойки зайци описано Фибоначи последователност

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610.

при което сумата на съседни числа е последвано от номер. Тази последователност се държи асимптотично като геометрична прогресия с знаменател равен на златното сечение 3. важната роля на τ сред други номера казва, че когато неговото разширяване в т.нар непрекъснато или верига) фракция, получена безкрайни единици последователности.

С додекаедър и icosahedron тясно свързано с отворен немския астроном и математик Йоханес Кеплер десен ромбич полихедронов triacontahedron 4. 30 лица полихедронов - е диаманти, отношение диагонали са равни на златното сечение. Сред някои полу-редовен многостени изправена Архимед възникне 5- и 10-gons; Ето защо, в изграждането им е необходимо да се използва златното сечение 5. Появата на златното сечение при описанието на многостенни конфигурации и геометрични тела изобщо поради наличието на тези органи имат оси на симетрия на петия ред: тялото се завърта около ос под ъгъл, равен на една пета от пълната oborotadelo подравнява се с а. Интересното е, че безкрайно продължен в три измерения редовни отделни системи кристални оста на симетрия на пети ред отсъства, въпреки че е ос на симетрия с ред 2, 3, 4 и 6. Това означава, че в описанието на симетрията на кристала може да се откаже от Golden секция. Напротив, открит в края на XX век. молекулярни клъстери Квазикристал и могат да имат ос на симетрия на пети ред, и следователно тяхната структура могат да бъдат свързани със златно сечение 6. отдавна се отбележи, че в структурата на някои растения и животни настоящото ос на симетрия на пети ред. Очевидни примери за такава симетрия могат да служат като ябълков цвят и морски таралеж. За разлика от живия свят на кристалите позволява на геометрията на златното сечение.

Златното сечение е често срещан в различни области на естествените науки. Например, скоростта на сближаване на итеративен метод добре известен напречни сечения, които се използват за търсене на корените на уравнения е равна на златното сечение.

Има редица от итеративни методи за изчисляване на златното сечение, които са сред най-интересните математически проблеми. Ние се опитахме да ги идентифицира и да организира. Сред основните характеристики на методите на златното сечение се намери своята простота и скорост на изчисление (скорост на сближаване), който е в основата на предложената класификация.

Първо, помислете за бавните методи за изчисляване τ. Тъй като златен съотношение е положителен корен на уравнението 2 х = х + 1. изчисляването на τ се извършва чрез последователни приближения с формулите

За кои първоначалното приближение x0 е избрана произволно. Последователност (1) бавно клони към τ. Последователност (2) се различава от бавно τ, или с други думи, бавно клони към т когато п → -∞. така че в този случай, за да се изчисли τ трябва да се обърне на формулата.

Важно е да се отбележи, че (1), когато x0 = 1 е тясно свързано с Fn Фибоначи номера.

Така Фибоначи номера образуват числители и знаменатели в приближава до τ последователност:

Тази последователност е разделена на две под-последователност на долните и горните граници за Т:

Помислете сега най-бързите методи за изчисляване на τ. формула

определя две сближаване а и б до корена на F функция (х). формула

определя две сближаване А и В до Е на корен τ функция (х) = х 2 -X-1.

В конкретния случай, когато а = хп-1. б = хп. с = Xn + 1. Ние се получи да се изчисли τ формула пресичащия метод

В конкретния случай, когато А = х. б = хп. с = Xn + 1. Ние се получи формула за изчисляване на τ метод тангента

Първоначално сближаване x0 и x1, във формулите (3) и (4) може да бъде избран произволно.

Разлика уравнения (1), (2), (3), (4) могат да бъдат написани в друга форма - като функция на повторение и карти. Това означение е полезно в случай на тежки уравнения. Например, уравнението (4) съответства на функцията на повторения, и уравнението (3) съответства показват повторения:

Използване на нелинейна трансформация (т.нар конвергенция линеен еквалайзер или отклонение линеен)

са в състояние да конвертира даден от формули (1) и (2) функции в новата функция:

определяне бързо се приближават към т итерация.

С помощта на така наречения коректор квадратното конвергенция

трансформация дадена от формула (4) функция в новата функция

което дава изключително бързо сближаване на τh. Всяка итерация на функцията (7) увеличава броя на местата, предприети след десетичната правилното приблизителна стойност τ повече от 6 пъти! Само 9 повторения на единство на начално приближение дават повече от три милиона знака след десетичната запетая, и 13 повторения - над четири милиарда знака след десетичната запетая.

За да бъде картината пълна от методите за намиране на златното сечение е необходимо да се обясни такова нещо като "степен на конвергенция". Ако Xn последователности. клони към граничната х *. вярно формула

(K - положително реално число) к се нарича степента на сближаване на последователността. За формула (1) к = 1 (линеен конвергенция). За формули (4), (5) и (6) к = 2 (квадратичен конвергенция). Във формула (7) к = 6. Уравнение (2) определя линейно отклонение. Накрая, в съответствие с горната формула (3), както сечащ метод опция, характеризиращ се с скорост к = τ: τ се изчислява от броя на скорост τ.

т Числото е списък на най-важните математически константи, като например брой пи, номер е. Броят на γ (Ойлер-Mascheroni константа), и т.н. Повече от 500 години след Леонардо да Винчи, този брой се нарича златно сечение.