Lagrange интерполация полином - studopediya

Да предположим, че имате маса с две колони. , , Задължително да се намери полином на най-ниска степен, която се стойностите за всеки аргумент. , т.е. съвпада с ценностите на функцията на маса при възлите. Сближаване, ние приемаме, че за всяка стойност на аргумента тон. , Такава приблизителна равенство се нарича интерполация формула. Така че, това е необходимо да се намери формула интерполация, а след това се оцени нейната точност.

Ние намираме най-вече полином (полином), който е на стойност 1 в аудио възел и 0 във всички останали. Очевидно е проста функция

където разцвета на знака на продукта е. Това е необходимо полином от степен п-1.

Имайте предвид, че след п точки могат да бъдат направени еднозначно полином от степен п-1, например, 2 точки може да бъде еднозначно изготвят по права линия (крива 1-ви ред) през 3 точки - парабола (крива на вторият ред), и т.н. ,

Лесно е да се провери, че е равно на 1, ако; 0 и когато. Умножете нататък. получава получената полином стойност на к-тия възел и нула за всички други възли. Следователно, сумата на тези полиноми ще се стойностите за аргумента:

Забележка: к - сериен номер на междинния полином в сумата, която строи полином на Лагранж; аз - брой на всеки възел в таблицата.

Това е необходимо полином от степен п-1, п, простиращ се през масата на възела. , ,

Открояват: ако даден възел точка N, съответният полином от степен п-1, минаваща през тези точки еднозначно (в roundoff грешка) се определя, независимо от метода на строителство и означения. Ако различни възлови точки, разбира се, полиномите могат да бъдат различни, но същите възлови точки би трябвало да доведат до същите полиноми (в рамките roundoff грешка).

Изискването полинома е на стойност за всеки аргумент. ние изградихме Lagrange полином. Ако ние изискваме полинома получи не само стойностите в функционални възли на масата, но също така и първата производна на полинома е равна на първата производна на функцията на маса при възлите, ние построи ермитов полином.

Пример. е една маса

Това интерполация полином 2-ри ред - парабола.

За т = 2, L = 7,33.

Тази фигура показва графика на полином Lagrange изработена от 5 възли - полином от 4-ти ред.

Тази фигура показва графика на полином Lagrange изработена от 8 минути възли - полином от порядъка 7-та.

От цифрите става ясно, че стойностите на функцията за маса между възлите на Лагранж полином представени незадоволителни. В допълнение, полиномът на Лагранж е неудобно за практическо използване. На практика, известна необходимата точност на резултата, а множество точки се използват, за да изберете.