Криви от втори ред

В училище математика разбира се учих достатъчно парабола, която по дефиниция е графика квадратното полином. Тук ние даваме друг (геометричен) дефиниция на парабола.

Определяне 7 12. парабола е мястото на точки в равнина, за всяка от които разстоянието до фиксирана точка на равнината, наречен фокусна точка. равно на разстоянието до определен права линия, намиращ се в една и съща равнина и призова направляващата на парабола.

Отговарят на това определение, ще се въведе подходяща координатна система, за да се получи уравнението на кривата. За да направите това, пуснете перпендикулярно от фокуса на направляващата. Произходът се намира в средата на сегмента. ос по сегмент, така че неговата посока съвпада с посоката на вектора. Обръщаме ос, перпендикулярна на оста (фиг. 12,15).

Теорема 12. 4Pust разстояние между фокуса и направляващата на параболата е равен. След това, в избраната координатна система парабола има уравнение

Доказателство. Избраните фокус координатите на параболата е точка. и директриса има уравнението (фиг. 12,15).

Да - текущата точка от параболата. След това формулата (10.4) за случая на планарни намерите

Разстоянието от точката на направляващата е перпендикулярна дължина. спадна до директорката на точката. Фигурата 12.15 очевидно, че. След това, по дефиниция на парабола. това е

Ние повишаване на двете страни на уравнението последно на площада:

След подобни условия ние получаваме уравнението (12,10).

Уравнение (12.10) се нарича канонично уравнение на парабола.

Предложение 12. 4Parabola има ос на симетрия. Ако каноничен парабола определя от уравнението, оста на симетрия съвпада с оста.

Доказателство. Това е точно същата като доказателство (Твърдение 12.1).

точка на пресичане с оста на симетрия на параболата се нарича върха на параболата.

Ако наново променливи. , то уравнението (12.10) може да се запише като

което съвпада с обичайната уравнение на парабола в училище курс по математика. Затова се направи парабола без допълнителни проучвания (фиг. 12,16).

Пример 12: 6 Конструкт парабола. Намери своя фокус и директриса.

Решение. Canonical уравнение е уравнение на парабола. , ос е оста на параболата. връх, разположен в основата на клоните параболата са насочени по протежение на оста. За изграждането ние откриваме няколко точки на парабола. За да направите това, което отдаваме на променливите и да намерят стойностите. Вземете точките. , , Като се има предвид симетрия около оста. изготвя крива (фиг. 12,17)

Фиг. 12. .Parabola 17, определен от уравнението

Focus е по оста на разстояние от върха, т.е. има координати. Директорката има уравнението. т.е..

Парабола както елипсата, има свойства, свързани с отразяване на светлина (фиг. 12,18). Имотът ще формулира отново без доказателства.

Proposition 12. 5Pust - фокус на парабола, - произволна точка от параболата, - лъч от точка успоредна на оста на параболата на. След перпендикулярна на параболата на мястото разделя ъгълът, образуван от отсечката и линията. наполовина.

Фиг. 12. 18 .Reflections светлинен лъч от парабола

Този имот означава, че лъчът светлина излезе от фокуса. отразена от параболата, след това тече успоредно на оста на параболата. От друга страна, всички лъчи, идващи от безкрайността, и успоредно на оста на параболата, се срещат в своя фокус. Този имот се използва широко в практиката. Прожекторите обикновено дават огледало повърхност, която се получава по време на въртенето на парабола около своята ос на симетрия (параболично огледало). Източникът на светлина в прожекторите са поставени във фокуса на параболата. Резултатът дава прожектор лъч от почти успоредни светлинни лъчи. В същия имот се използва в космическите комуникации приемни антени и телескопи огледала, които събират поток на паралелните лъчи или радиовълни поток успоредни лъчи, и тя се концентрира във фокуса на огледалото.