кратка теория

Глава 12: Диференциални уравнения

12.1. основни понятия

Диференциално уравнение е уравнение, което се отнася независима променлива х. неизвестна функция у = е (х) и неговите производни на различни поръчки.

Поръчка диференциално уравнение е от порядъка на най-високата производна, част от това уравнение.

В диференциално уравнение на п-тия ред в общата форма се изписва като:

диференциално уравнение е функция у = # 966; (X),

конвертира това уравнение е за самоличност.

Разтвор F (х, у) = 0. определената предварително имплицитно нарича неразделна уравнение.

График разтвори на диференциално уравнение се нарича интегрална крива.

Общият разтвор на диференциално уравнение на п - ти ред е функция

в зависимост от X и п независими произволни константи C1, C2. CN, се заема с решаването на това уравнение в една идентичност.

Общото решение даден имплицитно

Той призова общото интеграл.

Особено разтвор на диференциално уравнение е разтвор, който е получен от общата ако да даде определени стойности произволна постоянна, т.е. Тип на решението:

Особено неразделна е интеграл получен от главния

определяне произволни константи:

В диференциално уравнение от първи ред.

Общата форма на диференциално уравнение от първи ред:

Ако това уравнение може да се реши по отношение на у ". на

Това уравнение може да се запише като:

Общият разтвор на уравнение (12.1) е функция

х и произволна константа С преобразува това уравнение е идентичност.

Общото решение даден имплицитно

Той призова общото интеграл.

Геометрично общ разтвор (и общо неразделна) е семейство от интегрални криви в равнината, в зависимост от един параметър С

Особено разтвор на уравнение (12.1) е разтворът, получен от общия разтвор (12.4) на стойност C определя:

където С 0 - фиксиран брой.

Особено интеграл на уравнение (1) е неразделна получен от общия разтвор (5) на стойност С фиксирана:

Коши проблем. Намери разтвор Y = F (х) на уравнение (1), което отговаря на определени начални условия: Y = Y 0 при х = 0.

С други думи, за да намерите най-неразделна крива на уравнението (1), минаваща през дадена точка M0 (x0, y0).

Диференциални уравнения с разделящи се променливи.

Диференциални уравнения с разделящи се променливи се нарича уравнение на формата

където X (X). X1 (х) - само функция на х; Y (у), Y1 (Y) - функция само на база.

Уравнение (12.8), като се раздели от продукта Y (у) Х1 (х) се редуцира до уравнение с отделни променливи

Общият интеграл на уравнение (12.9)

Забележка. При разделяне на продукт Y (у) Х1 (X) може да загуби тези разтвори на уравнение (12.8), които съставят този продукт е нула.

Директен заместване е лесно да се види, че функция х = а. когато е корен на уравнение X1 (х) = 0; X1 (A) = 0. разтвор на (12,8). у = б функция. където б корен на Y1 уравнението (у) = 0. т.е. Y1 (б) = 0, и разтвор на (12,8). Решения х = а и х = б, ако присъства, са геометрично прави линии, съответно успоредни Ox и Oy ос ос.

1. Интегриране на диференциално уравнение

(1 + х 2) ди - 2xy DX = 0.

Намери специално решение, което отговаря: Y = 1 при х = 0.

Това уравнение е уравнение с делими променливи (коефициентът на ди - функция на х само когато DX -. Продуктът от функции, една от които зависи само от х друг -. Само Y). Разделяне двете страни от продукта от у (1 + х 2), ние получаваме уравнение с отделни променливи

Интегриране на това уравнение, ние откриваме

Въ | у | - LN (1 + х 2) = LN | С | или

от които се получи общото решение: у = С (1 + х 2).

За желания частичен разтвор, е достатъчно да се определи стойността на С от първоначалните условия: 1 = С (1 + 0), С = 1.

Следователно, особено разтвор има формата

Забележка. Когато разделена на у (1 + х 2) се приема, че у (1 + х 2) ≠ 0. т.е. Y ≠ 0, 1 + х 2 ≠ 0. Но у = 0 - разтвор на, като директно могат да бъдат проверени. Този разтвор се получава от общото когато С = 0.

2. Намерете общ интеграл на диференциалното уравнение

(Xy 2 + х) DX + (у - х 2 у) ди = 0.

Въвеждане на съответните фактори на скобите, уравнението може да бъде

изписва като: х (у 2 1) DX + у (1 - х 2) ди = 0,

което показва, че това уравнение с много променливи. Разделяне двете страни на това уравнение от продукта (Y + 1 2) (1 - х 2) ≠ 0. получи

Интегриране на това уравнение, ние откриваме

- Въ | 1 х 2 | + Ln | 1 + у 2 | = Ln | C | или

което води до получаване на общо неразделна: 1 + Y 2 = C (1 - х 2).

Интегриране на диференциалното уравнение, за да намерите тези конкретни решения и да ги изгради: