кратка теория
Глава 12: Диференциални уравнения
12.1. основни понятия
Диференциално уравнение е уравнение, което се отнася независима променлива х. неизвестна функция у = е (х) и неговите производни на различни поръчки.
Поръчка диференциално уравнение е от порядъка на най-високата производна, част от това уравнение.
В диференциално уравнение на п-тия ред в общата форма се изписва като:
диференциално уравнение е функция у = # 966; (X),
конвертира това уравнение е за самоличност.
Разтвор F (х, у) = 0. определената предварително имплицитно нарича неразделна уравнение.
График разтвори на диференциално уравнение се нарича интегрална крива.
Общият разтвор на диференциално уравнение на п - ти ред е функция
в зависимост от X и п независими произволни константи C1, C2. CN, се заема с решаването на това уравнение в една идентичност.
Общото решение даден имплицитно
Той призова общото интеграл.
Особено разтвор на диференциално уравнение е разтвор, който е получен от общата ако да даде определени стойности произволна постоянна, т.е. Тип на решението:
Особено неразделна е интеграл получен от главния
определяне произволни константи:
В диференциално уравнение от първи ред.
Общата форма на диференциално уравнение от първи ред:
Ако това уравнение може да се реши по отношение на у ". на
Това уравнение може да се запише като:
Общият разтвор на уравнение (12.1) е функция
х и произволна константа С преобразува това уравнение е идентичност.
Общото решение даден имплицитно
Той призова общото интеграл.
Геометрично общ разтвор (и общо неразделна) е семейство от интегрални криви в равнината, в зависимост от един параметър С
Особено разтвор на уравнение (12.1) е разтворът, получен от общия разтвор (12.4) на стойност C определя:
където С 0 - фиксиран брой.
Особено интеграл на уравнение (1) е неразделна получен от общия разтвор (5) на стойност С фиксирана:
Коши проблем. Намери разтвор Y = F (х) на уравнение (1), което отговаря на определени начални условия: Y = Y 0 при х = 0.
С други думи, за да намерите най-неразделна крива на уравнението (1), минаваща през дадена точка M0 (x0, y0).
Диференциални уравнения с разделящи се променливи.
Диференциални уравнения с разделящи се променливи се нарича уравнение на формата
където X (X). X1 (х) - само функция на х; Y (у), Y1 (Y) - функция само на база.
Уравнение (12.8), като се раздели от продукта Y (у) Х1 (х) се редуцира до уравнение с отделни променливи
Общият интеграл на уравнение (12.9)
Забележка. При разделяне на продукт Y (у) Х1 (X) може да загуби тези разтвори на уравнение (12.8), които съставят този продукт е нула.
Директен заместване е лесно да се види, че функция х = а. когато е корен на уравнение X1 (х) = 0; X1 (A) = 0. разтвор на (12,8). у = б функция. където б корен на Y1 уравнението (у) = 0. т.е. Y1 (б) = 0, и разтвор на (12,8). Решения х = а и х = б, ако присъства, са геометрично прави линии, съответно успоредни Ox и Oy ос ос.
1. Интегриране на диференциално уравнение
(1 + х 2) ди - 2xy DX = 0.
Намери специално решение, което отговаря: Y = 1 при х = 0.
Това уравнение е уравнение с делими променливи (коефициентът на ди - функция на х само когато DX -. Продуктът от функции, една от които зависи само от х друг -. Само Y). Разделяне двете страни от продукта от у (1 + х 2), ние получаваме уравнение с отделни променливи
Интегриране на това уравнение, ние откриваме
Въ | у | - LN (1 + х 2) = LN | С | или
от които се получи общото решение: у = С (1 + х 2).
За желания частичен разтвор, е достатъчно да се определи стойността на С от първоначалните условия: 1 = С (1 + 0), С = 1.
Следователно, особено разтвор има формата
Забележка. Когато разделена на у (1 + х 2) се приема, че у (1 + х 2) ≠ 0. т.е. Y ≠ 0, 1 + х 2 ≠ 0. Но у = 0 - разтвор на, като директно могат да бъдат проверени. Този разтвор се получава от общото когато С = 0.
2. Намерете общ интеграл на диференциалното уравнение
(Xy 2 + х) DX + (у - х 2 у) ди = 0.
Въвеждане на съответните фактори на скобите, уравнението може да бъде
изписва като: х (у 2 1) DX + у (1 - х 2) ди = 0,
което показва, че това уравнение с много променливи. Разделяне двете страни на това уравнение от продукта (Y + 1 2) (1 - х 2) ≠ 0. получи
Интегриране на това уравнение, ние откриваме
- Въ | 1 х 2 | + Ln | 1 + у 2 | = Ln | C | или
което води до получаване на общо неразделна: 1 + Y 2 = C (1 - х 2).
Интегриране на диференциалното уравнение, за да намерите тези конкретни решения и да ги изгради: