Клас 8, платформа съдържание

1.1. (6 точки) е графика на линейна функция у = брадва + б (вж. Фигура). Намерете стойността на B- и изразяване.

Имайте предвид, че стойността на експресията е b- стойност на тази функция при х = 1. Графиката показва, че стойността е нула.

Възможно е също така по-тежък начин за решаване: изчислят стойностите на коефициентите А и В, чрез заместване в уравнението, дадена функция на координатите на всеки две точки на графиката.

1.2. (6 точки) За четириъгълник известни, че две от нейните страни са успоредни и че точката на пресичане на диагоналите е средата на един от диагоналите. Вярно ли е, че този четириъгълник - успоредник?

Помислете четириъгълник ABCD. в който Слънцето || АД. За - пресичане на AC и BD. и АО = ОС (вж. фиг. 1). Тъй като Слънцето || АД. на ÐСОЛ = ÐОПР. В допълнение, ÐДанните за присъствието = ÐAOD. Съответно, триъгълници и ВОС AOD са на страната и съседните ъгли, така слънце = АД. По този начин, страна BC и AD в процес на разглеждане на четириъгълник са равни и успоредни, т.е. ABCD - успоредник.

1.3. (6 точки) Когато бъде умножен положително цяло число N, за да получите номер 3, сумата от цифри на което е равно на Н. Виж най-малката възможна стойност на Н.

Получават се чрез умножаване на броя се дели на 3, така че сумата от цифрите се разделя 3. По този начин, броят п е разделена на три и след това се разделя в 3N 9. Следователно, сумата от цифри от 3N неделими от 9, който е N е разделена от 9. По този начин, N ³ 9, където номер 9 отговаря 9 х 3 = 27, и сумата от цифри, равни на 27 9.

Имайте предвид, че проблемът може да бъде решен чрез директно изброяване умножава по три цифри от 1 до 9 и сумата проверка на броя им.

Отговор. Не, не може.

1) Да средната CM е, например, Büsing крак (вж. Фиг. 2а). Освен това, CM = AB = BM. обаче триъгълник BMS - равностранен следователно ÐBCM = 60 °. Следователно, необходим ъгъл на ACM е 30 °.

2) Да BN - счита медианата (виж фигура 2б) ... От BN> BC. се приема, че BN = AC. Тогава CN = BN. тоест, в правоъгълен триъгълник BSN ÐCBN = 30 °. Този ъгъл - задължително.

2.3. (7 точки) Oorfene Deuce построен 66 Blockheads в един ред, да ги преброи и осъзнах, че за да ги възстанови в колона от пет не можеше. След това, той решава между всеки две Blockheads, застанал на линията, сложи още един dubolomu. Може ли той, повтаряйки тази операция няколко пъти, за да се гарантира, че броят на Blockheads е пет пъти?

Отговор. Не, не мога.

Имайте предвид, че ако в линията стои н на Blockheads, в резултат на тази операция ще бъде 2n - 1. След първата операция ще бъде равен на броя на Blockheads 131. Ако броят приключва в 1, се умножава по две и се изважда 1, ние отново получи число, което завършва с към 1. Поради това, в бъдеще броят на Blockheads винаги завършва фигура 1, следователно, този брой не се дели на 5.

3.1. (8 точки) Петя бяха монети в наименованията на една рубла и 1 пени, цента и е по-ниска, отколкото на рублата. Купуването на хранителни стоки, Питър прекарал половината от общия брой. След това, той се появява отново, само рубли и копейки, цента и се появи толкова, колкото беше първоначално рубли, а рубли е два пъти по-малко от първоначално цента. Колко пари е в Petit първоначално?

Отговор. 99 рубли и 98 копейки.

Първият метод. Нека Petit е х и у цента рубли, а общият размер на парите си - (100 бр + Y) цента. След закупуването на продукти от Petit остави половината от тази сума, т.е. (50x + 0,5y) цента. По предположение, рубли Петя беше 0,5y. и цента - х. за общо (50y + х) цента. Изравнява: 50х + 0,5y = 50y + х.

то Опростяване, получаваме: 98x = 99y Û 98 (х - у) = у. Тъй като х и у - естествени числа, а след това у се дели на 98. Но цента Петя е по-ниска, отколкото на рублата, така че у <100, следовательно, y = 98, тогда x = 99.

Вторият метод. Да предположим, че след пазаруване в Petit ляво А Б рубли и копейки, а количеството на парите му беше първоначално равна на 2а и 2б рубли копейки. Ние считаме, че два случая:

1) б <50, тогда 2b <100. Из условия следует, что , что возможно только при а =b = 0.

2) б ³ 50, след 2b ³ 100. В този случай, един от рубли, което е на първо Petit, razmenennym включен цент, така :. Решението на тази система от уравнения е :. По този начин, Petit оставя 49 рубли 99 копейки, и това е - 99 рубли 98 копейки.

3.2. (8 точки) В четириъгълник ABCD на ъгли А и В - са прави. Известно е също така, че CD = AD + BC. ADC ъгъл ъглополовяща пресича AB в точка M. Намерете ъгъл CMD.

Доказването, че M - средата на AB, може да бъде завършена и решението по различен начин. Равен средната линия trapetsiiMK (виж фигура 3в ..), TogdaMK = (AD + BC) = SD.Poluchim че в триъгълника CMD е равна на половината от средната част, към която се проведе, който е триъгълник - правоъгълна с перпендикулярна М.

Третият начин. Ние изграждане трапец AVC "D", симетрични по отношение на тази права линия AB (вж. Фиг. 3в). След СС "D" D - равнобедрен трапец, където SS '+ DD' = 2Вс + 2Ad = 2CD = CD + C "D". Това уравнение означава, че трапец CC "D" D може да се впише окръжност. В центъра на този кръг принадлежи на симетрия оста на равностранен трапец, и едновременно с точка на пресичане на ъглополовящи на своите краища, така че да съвпада с точка М. Тогава SM - BSD ъгъл ъглополовяща. Ето защо, ÐCMD = 90 °.

Четвъртият начин. AVD четириъгълник конструкт "С", това симетрично спрямо средата на сегмент AB (вж. Фиг. 3a). Тъй С "D '= CD = BC + AD = CD' = C" Г. за контрол на заболяванията "D" - ромб. Диагонали С "В" и D "D" ромб перпендикулярни ъглополовящи са нейните ъгли и пресичат сегмент AB в средата, така че М - точката на пресичане. Ето защо, ÐCMD = 90 °.

3.3. (8 точки) Ние се каже, че е естествено число е чудесно, ако това е най-малкият сред естествени числа е същата като неговата, сумата от цифрите. Каква е сумата на всички трицифрени числа големи?

Имайте предвид, че сред най-забележителните трицифрени числа са точно тези номера, завършващи на 99.

Наистина, нека трицифрен номер N завършва в 99. Ние доказваме, че това е чудесно. Във всеки по-малък брой във всяка цифра място не е голям, в сравнение с броя Н. и на отделни места там е по-малък брой или първото число липсва (ако номерът не е трицифрено). Ето защо, по-малки числа имат по-малка сума от числа, т.е. брой N - прекрасно.

Ние сега се окаже, че другите трицифрените числа не е голям. Всеки три цифрено число е сумата от номера не по-голямо от 9 х 3 = 27. Сумите цифри забележителни три двуцифрени числа 199, 299. 999, са равни съответно до 19 и 20. 27. Всички номера са намерени в единични или двуцифрени числа по-малки количества. Ето защо, ако броят на трицифрено не приключва на 99, не е забележително.

Остава да се изчисли сумата от три двуцифрени числа, завършващи в 99: S = 199 + 299 + ... + 999 = (200 + 300 + 1000 ...) - 9 = (2 + 3 + ... + 10) 100-9 = 5,391.

4.1. (9 точки) решаване на уравнението :.

Ние се провери, че х = 1 не е корен на това уравнение. В действителност, когато х = 1, от лявата страна е настроен на 48, а от дясната страна е равна на 49.

Увеличаването двете страни на първоначалното уравнение за (х - 1) 2. Като се използва формулата: където п - цяло число. Тъй; и след това получаваме уравнението. Премахваме скобите: Û Û Û х = 0 или х = 1.

Така, х = 0 - уникален разтвор на уравнението.

Имайте предвид, че ако се прави проверка във финалната фаза на решението, е необходимо да се провери и двете корени.

4.2. (9 точки) от страна на квадрат ABCD слънце навън построен ТЕГЛО равнобедрен триъгълник с основа преди Христа. Известно е, че ъгъл ЕДО е 75 °. Намерете ъгъл на тегло.

Построен извън квадрата на слънце страна на равностранен триъгълник BE'C (вж. Фиг. 4). Тогава триъгълник ABE '- равнобедрен с ъгъл 150 ° в V. на връх поради ÐBE'A = ÐБАЕ "= 15 °. следователно ÐE'AD = 90 ° - ÐБАЕ "= 75 °. Следователно, точка Д е на линията AE ". В допълнение, точки Е и Е 'лежат на перпендикуляра към дължината на новата ера. Тъй като това не могат да се пресичат перпендикулярно лъч AE "повече от една точка, тогава Е" съвпада с Е. Следователно ÐВЕС = 60 °.