Как да се докаже, че пи не зависи от диаметъра на окръжността

Тук е доказателство за каза един математик. Нарисувайте два концентрични кръга на произволен радиус. Радиусът на големия кръг е обозначен с R, и радиусът на малкия кръг означена с R. Нека, р а н пъти по-големи от R (R = NR). Трябва да се покаже, че съотношението на обиколката на пациента по отношение на R, е равна на периферната дължина на малък R. Ако можем да го докаже, проблемът е решен, защото имаме произволен п. Доказателство. Ние черпим от центъра O на двете греди с малък ъгъл между тях. Тези лъчи преминават всеки кръг в две точки. Свързване на тези точки от прави отсечки. Получаваме две подобни равнобедрен триъгълници. Те са за основата равен на съотношението на радиусите, т.е. равно на п. Ние разделяме цялата гама от тези сектори. Приблизително периферната дължина може да се дефинира като сума от тези сегменти - бази. Очевидно е, че сумата от "голямата причина" ще бъде също н пъти по-голям от сбора на "малките бази". Ние последователно ще намали ъгъла и съответно увеличаване на броя на базовата линия сегменти. Съотношението на сумите, които остават равни на п. В границите на безкрайно малки ъгли се получава сумата на безкрайно малки сегменти (т.е. неразделна). Но безкрайно голяма сума от безкрайно малки сегменти и е дължината на окръжността. Следователно, дължината на големия кръг в п пъти дължината на малкия кръг (и п пъти съотношението на радиуса). Тъй като п е произволна, това съотношение е независим от радиуса. Това доказва теоремата. Остава само да се посочи, че съотношението на буква Р след първата буква от името на древногръцкия математик Питагор (Πυθαγόρας). Но традиционно приготвено да използвате малката буква "пи".

Владимир 2012 г. [56.7K]

Трябва да се отбележи, че броят на "пи" - първата буква от гръцката дума за "Свързани" (περιφέρεια) - кръг. Това обозначение измислен английски математик Уилям Dzhons на в 1706. - Преди повече от година

Всичко зависи от метричната пространството, в които работим. За евклидово пространство и да е вярно - по дефиниция. пи е съотношението на обиколката на диаметъра. Това означава, че диаметъра може да бъде всеки. Също така, тъй като пи - е постоянен, поради което не зависи от диаметъра.

В Lobachevskian геометрия пи не е постоянна и зависи от диаметъра. Колкото по-голям диаметър, по-малко PI (съотношение на периферната дължина диаметър). Но в рамките на ограничението, когато диаметърът клони към нула като време и да получи необходимия брой пи на равнината 3.14.

Ако приемем (в евклидово пространство), които пи - не е постоянен, не е лесно да се докаже твърдението, че не е така.

Доказателство. Да предположим, че има два кръга, радиусът на 1-ви - R1, второто R2 и обиколката на 1-ви - С1, втората - С2. Да предположим, че

C1 / (2R1) - C2 / (2R2) = ε> 0. (1)

Впише в кръга на правилен многоъгълник. Нека се Р1 периметри и Р2. За полигони, поради сходство вярно твърдението на:

P1 / (2R1) = P2 / (2R2). Очевидно, С1 - Р1 = δ1> 0 и С2 - Р2 = δ2> 0. трансформиране (1):

C1 / (2R1) - C2 / (2R2) = (Р1 + δ1) / (2R1) - (Р2 + δ2) / (2R2) = δ1 / (2R1) - δ2 / (2R2) = ε. (2)

Но тъй като за всяко ε> 0, винаги е възможно да се избере редица страни на полигона - п, че ще бъде вярно δ1 <2r1ε, следовательно:

δ1 / (2R1) - δ2 / (2R2) <ε - δ2/(2r2) <ε, что приводит к противоречию с (2). Утверждение доказано.