Изпъкналите (вдлъбната) функция - studopediya

Проблемът за оптимизация се усложнява значително, ако обективна функция F () може да бъде в допустима региона G не е един, а няколко максимуми или минимуми. В този случай, световната екстремум може да бъде постигнато на границата и не съвпада с местен връх. Ако знаете за съществуването на глобален екстремум на функция F на () (например, въз основа на Теорема 5.2.), Това е достатъчно, за да намерите всички стационарни пункта, а за сравнение на стойностите на функцията F () в тези точки с екстремни стойности на граница. Най-високата стойност ще съответства на глобалната максимум. Решението на този проблем може да бъде много време отнема поради големия брой видове ограничения (5.1) в практически проблеми.

Поради това, значителен интерес към тези проблеми, в които целевата функция има само една максимална или минимална, и в която, следователно, е местен екстремум в същото време в световен мащаб. За да се установи вида на проблемите на функционалната роля на идеята за изпъкналост и вдлъбнатост на функции.

Нека е () обективната функция се определя върху изпъкнала набор G; 1. 2 - две произволни точки на G. £ т 0 е произволна точка на сегмента свързване 1. 2. Да разгледаме сегмент свързваща стойности на е (1) и е (2) функции F ()

Определение 5.7. функция е () се нарича изпъкнала ако тя се намира изцяло горе (не по-малко от) сегмента, свързващ двата произволни точки, т.е. за всеки 1, 2, и неравенството ..:

Определение 5.8. функция е () се нарича вдлъбната ако тя се намира изцяло под (не повече от) сегмента свързване си две произволни точки г. е. ако

Фиг. 5.3 илюстрира определяне на местно, глобалната екстремумите, стационарни точки на изпъкнали и вдлъбнати функции.

Фиг. 5.3 Функции и изпъкнал); вдлъбната б); Общата режим).

Свойствата на изпъкнали и вдлъбнати функции, които са важни за решаване на проблемите на нелинейни програмиране.

Теорема 5.4. Всеки локален максимум или местен минимум изпъкнало вдлъбната функция двете са глобални.

Теорема 5.5. може да се постигне силен глобален минимум или максимум на вдлъбнати изпъкнали функции, определени в изпъкналата зона (с ограничена домейн в затворена - се постига) само при граничната област.

Тези теореми ни позволяват да подчертае някои от техниките, които го правят по-лесно да се намери глобален екстремум:

1. Ако функцията е изпъкнала (вдлъбната) и от (5,4), получен от неподвижна точка, глобалната максимум (минимум) се постига в него.

2. За да намерите на глобалната минимум от изпъкнала или вдлъбната функция глобален максимум функция достатъчно изследвания, Extrema само на границата.

На последно място, следва да се отбележи, че сумата от изпъкнали (вдлъбнати) функции е изпъкнал (вдлъбнат).

Нека разгледаме някои от най-важните видове изпъкнали и вдлъбнати функции.

линейна функция F на () = е изпъкнала (и вдлъбната) в цялото пространство R (п). Въпреки това, той не е нито строго изпъкнала или вдлъбната строго. Квадратна функция:

Това е изпъкнала по цялата площ R (п). ако е отрицателен (не положителен) определено, че е, ако е () 0 £ за всички. освен = 0. А квадратна функция е вдлъбната по цялото пространство R (п). ако е положителен (не отрицателно) определено, че е, ако е ()> 0 за всички. освен = 0.

Тези свойства на квадратна функция може да се настрои в общия случай, признаците на корените на характеристика уравнение Li матрица С =. като формата:

Тук, диагоналните елементи CIJ са коефициентите на XI 2. диагонал елементи CIJ = Сц равна на половината от коефициента на XI XJ във формула (5.7).

Теорема 5.6. Към квадратна функция (5.7) има положителен (отрицателно) определено, че е необходимо и достатъчно всички корените на (5.8) са положителни (отрицателно).

Ако има най-малко една нула между корените - с квадратна функция на не-отрицателни (не-положителна). И накрая, ако има корени с различни знаци - квадратна функция е несигурно.