Изчисление на ротора в правоъгълна координатна система,

Проекцията на полето на вектора на ротора в точка А по посока перпендикулярна на повърхността калибрира от контура # 916; L. определя по формулата

,

при което - Вектор заедно циркулационния кръг # 916; L; # 916; S - площта на региона, ограничена от този контур.
Теорема. Декартова координатна на ротора вектор може да бъде представена като

където брадва. Ay и Az - координати на вектор А.
Доказателство. Ние избираме като верига за интеграция # 916; L безкрайно гранични правоъгълници разположени в равнина, успоредна на референтната равнина х 0y (както е показано на фигура 1).

Фиг. 1. контура на интеграция # 916; L е правоъгълник, в центъра на който е точката.

област # 916; S на правоъгълника е равна на # 916 х · # 916 у. и нормална посока съвпада с положителната посока на оста Z.

Фиг. 2. контура на интеграция.

Следователно, съотношението на циркулация в областта # 916; S при свиването на точката на контур дава Z-компонент на ротора.
Представлява циркулация на вектор поле, както е сумата от интеграли:

.

Предвид незначителни страни на правоъгълника функция Акс и Ай могат да бъдат заменени с техните средни стойности на подходящи интервали. Имайте предвид обаче, че стойността брадва на проекцията на сегмента DC се различава от съответната стойност в сегмента AB от сумата.
след това

.

По същия начин, стойностите на разликата за Ay BC и AD сегменти е. Ето защо,

.

.

Като се вземе предвид връзката граница

,

Ние достигне формула

.

Изразите за други координати ротора могат да бъдат получени чрез циклична промяна на променливите:

изпълнение на ротора по отношение на оператора на nabla.
Помислете за вектор продукт на оператора и функцията вектор:

Ние се трансформира така, чрез прилагане на теоремата на разширяването на определящ фактор за покупки. (Спомнете си, че операторите на диференциация винаги трябва да бъде разположен от лявата страна на функциите, за които се отнасят.)

Този резултат съвпада с експресионен вектор за поле ротор А. Следователно,