Hermitian оператори

Нека М и N - линейни комплекти. L Операторът, преобразува елементите на M елементи в серия N, се нарича линеен ако за всички елементи е и ж на комплексни числа M и # 955; и # 956; равенство

Зададената M = ML нарича домен на оператора L. Ако Lf = F е Je за всички М, операторът L се нарича идентичност (единица) оператор. Един оператор ще бъде означен с I.

Нека L - линеен оператор с домейн ML. уравнение

Тя се нарича линейна нехомогенна уравнение. В уравнение (2) даден елемент F е свободен Терминът (или дясна страна), и неизвестен елемент и на ML - разтвор на това уравнение.

Ако уравнение (2) F постоянна Терминът равна на нула, тогава полученият уравнение

наречен хомогенен линейно уравнение, съответстваща на уравнение (2).

Поради линейността на оператор L хомогенна популация от разтвори на уравнение (3) образува линеен комплект; по-специално, и = 0 е винаги разтвор на това уравнение.

Всеки разтвор на нехомогенни линейното уравнение (2) (ако съществува) е сумата от конкретен разтвор UQ на това уравнение и общото решение # 365;, съответстващ линеен хомогенна уравнение (3)

Оттук произтичат пряко: Към разтвор на (2) е само ML, е необходимо и достатъчно съответното хомогенно уравнение (3) има само незначителен разтвор в ML. Нека хомогенна уравнение (3) има само нула разтвор в ML. RL означават обхвата на L оператор, т.е. (Линеен) набор от елементи на форма F на>, където е варира ML. След това за всяка F Je R 'уравнение (2) има уникален разтвор и Je ML, и по този начин има оператор, който свързва с всеки елемент от F R, съответстващ разтвор на уравнение (2). Този оператор се нарича обратна оператор е означена с L и L-1. така че

Оператор L -1. Очевидно е, че е линейна и представлява R 'на ML. Директно от дефиницията на L-1 и от уравнения (2) и (4) следва:

Ако L е оператор линейна L- 1. обратен функциите на системата # 966; к> и на L # 966 К> в даден момент са линейно независими. (Това, разбира се, се приема, че всички # 966 К принадлежат към ML).

Да разгледаме линейна хомогенна уравнение

където # 955; - комплекс параметър. Това уравнение има нулево решение за всички # 955;. Това може да се случи, че в някои # 955; има ненулеви разтвори на ML. Тези комплексни стойности # 955;, за които уравнение (5) има ненулеви разтвори на ML, наречени собствени стойности на L, и съответните решения - собствени елементи (функции), съответстващи на тази собствена стойност. Общият брой на R. 1 ≤r≤∞. линейно независими собствени вектори елементи, съответстващи на тази собствена стойност # 955;, се нарича множеството самостоятелно значение; ако множество г = 1, тогава # 955; Тя се нарича просто собствена стойност.

Ако множеството от собствени стойности R # 955; на L е ограничен и U1. U2 - съответстващ линейно независими собствени елементи, след което всяка линейна комбинация

също собствена стойност елемент, съответстващ на тази собствена стойност и горната формула дава общ разтвор на уравнение (5). От това следва, че ако решението на уравнението

съществува, неговото общо решение, представено с формула

където U * - конкретния разтвор (6) и СК. К = L, 2. R, - произволни константи.

L Линейната оператор, трансформира ML Cl2 (G) в L2 (G), наречен Hermitian ако потребителите ML плътен в L2 (G) за всеки е и г Ml равенство

Изразяване (LF, ж) и (LF, е), съответно наречени билинейна и квадратичен форми, получени от оператор L.

Линеен Hermitian оператор L е необходима и достатъчна, които ги генерира квадратна форма (Lf, е), е Je Ml, Ml където плътен в L2 (G), като само действителните стойности.

По-специално, всяко положително Hermitian оператор.

Теорема. Ако operatorLermitov (положително), а след това всички свои собствени стойности са реални (не-отрицателни), а eigenfunctions, съответстващи на различни собствени стойности са взаимно перпендикулярни.

Доказателство. нека # 955; 0 - собствена стойност, u0 - съответстващ нормализирана eigenfunction на Hermitian оператор L, Lu0 = # 955; 0u0. Като скаларната продукт е равна на u0, получаваме

Но за Hermitian (положително) квадратното форма (ЛФ, е) операторът предприема единствената реална (не-отрицателни) стойност и следователно, (7) # 955; 0 - реална (не-отрицателни) номер.

Ние доказваме, че всеки потребителски функции I1 и I2, отговарящи на различни собствени стойности # 955; 1 и # 955; 2, ортогонална. Действително, от отношенията

на същественост # 955; 1 и # 955 2 и на Hermitian оператор L получаваме верига от уравнения

Да предположим, че наборът от собствените стойности на Hermitian оператор L е не повече от изброимо и всеки собствена стойност на крайните кратност. Ние се изброят всички свои собствени стойности: # 955; 1, # 955; 2. повторение # 955 К толкова пъти, колкото си множество. Съответните eigenfunctions е обозначен с I1, I2, ..., така че всяка собствена стойност съответства само един eigenfunction IK:

Eigenfunctions, съответстващи на една и съща собствена стойност, можете да изберете ортонормален използвайки процес Schmidt ортогонализиране. Всеки ортонормирана система # 966 К> състои от линейно независими функции. всяка система # 968; 1, # 968; 2. линейно независими функции на L2 (G) се превръща в система ортонормирана # 966; 1, # 966; 2. - процес Schmidt ортогонализиране, както следва:

В този случай, отново, той получава своя собствена функция, съответстваща на една и съща собствена стойност. Според докажат своята функция теорема, отговарящи на различни собствени стойности са ортогонални.

Така, ако системата на eigenfunctions Великобритания> Hermitian оператор L е не повече от изброимо, то тя може да бъде избран ортонормален:

2. Владимиров V. S. уравнения на математическата физика. - Ed. 5-ти. - М. Science 1985.