ГИС-лаборатория полином трансформации

Формули и примери за полином трансформации на населените места

Формула на полином трансформации се използва за превод на оригиналните координатите (обикновено местно правоъгълни) окончателните (обикновено предназначени - правоъгълни). В зависимост от размера на изкривяването на изображението на контролни точки (GCP - точка контрол земята), и тяхното разположение спрямо друг, за да се изрази изисква превръщане може да изисква доста сложен полиноми формула. Сложността на полинома се изразява по отношение на своя ред. Заповедта - е показател за най-висока степен на полинома използва.

Преобразуване първия ред - линейна трансформация. Това преобразуване може да се промени:

• позиция X и / или Y; Промяна на позиция, преместване на изображението на определен брой пиксели в X и Y.
• мащаб по X и / или Y; претеглящите фактори за X и Y могат да бъдат различни
• наклон X и / или Y;
• обърнат; Когато се върти, може да се идентифицира всяко положително или отрицателно число на степените, за да завъртите По и обратно на часовниковата стрелка, съответно. Ротация се случва около централния пиксел от изображението.
• отражение; отляво надясно и отгоре надолу, отгоре надолу и отляво надясно (подобно завъртане на 180 градуса)

Превръщането на 1-ви ред може да се използва за превод на източника (например само сканирано) образи в правоъгълна координатна система, трансформиране на правоъгълна координатна система в друга, обикновено се използва за тази трансформация относителни малки фрагменти.

Примери за приложение на тази трансформация могат да бъдат: коригиране на изкривявания в дистанционно наблюдение на данни, сканирани въртене топографски листове, и въртене на данните за низходящ орбита, така че север е горната част на изображението (а не по протежение на орбитата).

Преобразуване първия ред може да се използва за пренос на данни, който вече се проектират върху самолета. Например, често дистанционно наблюдение на данни вече в местната правоъгълна са координатна система, но не се редуцира до съответния издатък. При използване на този вид трансформация, не е значимо повишение за реализация, ако има голяма средна квадрат грешка при първия ред. Първо, трябва да се провери други възможни източници на грешки: като отправни точки, тяхното разпределение и други възможни отклонения.

Фигурата показва как данните се променя под линейни трансформации.

За изпълнение на първата степен полином трансформиране е необходимо да се намери шест коефициенти - три за всяка координатна (X и Y): a0. А1. А2. b0. b1. b2. Тези коефициенти са използвани в действителното преобразуване полином уравнения от първа степен (еквивалентни като афинно преобразуване):

където X, Y - координати на код, x0, Y0 на - крайни координати

Нелинейни трансформации - трансформация на втори или повече реда. Конвертирането може да регулирате силата на нелинейни изкривявания. Фигурата показва примери на резултатите от някои нелинейни трансформации.

Трансформации втория ред могат да се използват за преобразуване на данните в географска координатна система (географска ширина и дължина) на правоъгълна, за конвертиране на данни на големи области (да се вземат за кривината на земята), да точно котва изкривена от някаква причина или други данни (например, ИЗ за изкривяването на обектива на камерата, лошо сканирани материали), и т.н.

Матрицата за трансформация се изчислява от контролните точки. Матрицата се състои от коефициентите на полиномите се използват формулите за координиране на реализация. Размерът на матрицата зависи от порядъка използва от превръщането. Трансформация матрични коефициенти са изчислени така, че да се получи формула полином трансформация с възможно най-малко грешки в превода на оригинала координира край. Вземи проценти, които не водят до грешки не винаги е възможно. Пример илюстрираща относителната грешка на първоначалната позиция и крайната кривата, която се доближава до връзката между тях, изразено от полином (не всички точки лежат на една линия, разстоянието от началната точка на полином крива - средноквадратичната грешка). За простота пример показва само съотношението на началните и крайните координати х и описвайки крива му, в реалния живот, първоначалните координати и края координатите 2 2, така че връзката между тях не е приблизително чрез крива и самолет.

Брой трансформация матрични коефициенти за превръщане на реда на т е равно на:

Този брой се умножава по 2 - два комплекта от коефициенти, една - за X, Y. Повече от един за проста формула за числото на коефициентите:

Ясно е, че трансформацията измерение увеличава матрица преобразуване с възходящ ред, съответно, минимален брой контролни точки, необходими за изчисляване на коефициентите на матрицата също се увеличава.

Всяка точка контрол засяга изчислените коефициенти. ако не пасва идеално на всяка точка полином контрол, която е представена от тези коефициенти. Разстоянието между кривата и изчислените координатите на точката - наречен Точността (средна квадратична условия за грешки). За да се изчисли матрица трансформация за набор от контролни точки, използвани средната метод квадратна регресия (най-малките квадрати метод) въз основа на контролните точки на оригиналните потребителски нарежда (свързване) на материал в крайния материал (този, към който равенството).

Формулата за изчисляване на полином на за тон

Където: Т - за полином, ак и ВК - коефициенти, индекс к за ак и ВК се изчисляват както следва:

Например, за да конвертирате ще се използват коефициентите на трети ред на 20:

Формулата за превръщане на 3-ти ред, след изчисляване на коефициентите може да изглежда така:

Ефект на превръщане на реда

Формулите за изчисляване на високи полиноми ред и стойността на продукцията, е по-трудно, отколкото изчисляването на първия полином ред. Ето защо, висок порядък полиноми се използват за изображения, които изискват да се обвърже по-сложни изкривявания. За да се разбере влиянието на различни поръчки за конвертиране на коригиране на изображението е полезно да се разгледа стойност на производството на полиномите на различни поръчки.

В този пример, за по-лесно, като се използва само една координатна (X), вместо две (X, Y), която за изчисляване, полином трансформация. Това позволява използването на двуизмерни графики, илюстриращи как използването на превръщането на определен ред да се сдружават на източника и местоназначението координати. Поради факта, че в примера се използва само координатите X, броят на контролните точки, използвани по-малко наистина необходимо за съответните заповеди променят.

Коефициентите, като тези, използвани в примера обикновено се изчисляват по метода на най-малките квадрати. Да приемем, че са въведени следните референтни точки:

Първоначалните X координират

Ultimate X координата

Тези точки позволяват да конвертирате първия ред за координатите х, които удовлетворяват следното уравнение (коефициентите са показани в скоби):

Къде: XR = приключва координира X, XI = първоначалната Х координата

В този случай, уравнението се същата форма като уравнението на линия (у = б + х), а оттам и линейността на преобразуването.

Въпреки това, какво ще се случи, ако втората контролния пункт, измени?

Първоначалните X координират

Ultimate X координата

Тези точки не могат да бъдат свързани с права линия, което означава, че те не могат да бъдат описани с полином на ред 1, както е описано по-горе.

В този случай, тези точки са изразени по отношение на полином второто ред:

Полиноми на 2-ри ред и по-висока - нелинейна.

Какво, ако добавите друг контролен пункт?

Първоначалните X координират

Ultimate X координата

Както се вижда на фигурата, четвърта точка лежи на кривата изразява с уравнение на ред 2. За всички точки, лежащи на кривата, редът на трансформацията трябва да се увеличи до 3. Получената уравнение и кривата е показано на фигурата.

Фигурата илюстрира превръщането на 3-ти ред. Въпреки това, може би това е твърде сложно уравнение. Извършване координира конверсия с използване на това уравнение, може да доведе до неочаквани промени в полученото изображение, когато се опитват да се постигне най-добре на първоначални контролни точки, да се сложи край. Може би, в този пример, използването на превръщане третия ред е ненужно, тъй като в резултат на пикселите ред, различен от реда на въвеждане на пиксела на Х-ос (точка 4 увеличили на място 3, 3 е 4 място).

Първоначалните X координират

Ultimate X координата

х (1)> х (2)> х (4)> х (3)

В този случай, превръщането на по-високо, за да не може да бъде постигане на желания резултат, изображението е силно нарушена.

Минималният брой контролни точки

Конвертирането на по-висок ред могат да се използват за коригиране на много сложни видове изкривяване. Въпреки това, увеличаването на броя на контролните точки, необходими за използване трансформации по-висок ред. Например, равнината, определена от 3 точки. по този начин прилагане на трансформация на първия ред, който се изразява с уравнението на равнина, която изисква минимум 3 точки. По същия начин, превръщането на 2-ия ред се изразява с параболоид. За да се определи уравнението на параболоид изисква 6 точки. Следователно, необходими най-малко 6 референтни точки за превръщането на втората последователност. Минималният брой точки изисква за трансформиране на т-ти ред се изчисляват както следва:

Използването на сума над минималните референтни точки също е възможно. Въпреки че, може би, това ще даде по-добра форма, често се увеличи броя на точките, не е от значение.

В следващата таблица са минимален брой контролни точки, необходими за поръчки на трансформация от 1 до 10 минути.

Минималният брой контролни точки