Евклидовата равнина Уикипедия

Евклидово пространство (също Евклидово пространство) - в оригиналната смисъл, пространство, чиито свойства са описани от аксиоми на Euclidean геометрия. В този случай, се приема, че пространството има измерение. равно на 3.

В съвременния смисъл на думата, в по-общ смисъл, тя може да означава едно от сходни и близки обекти: краен двумерен недвижими вектор пространство R п ^> въведената върху него положително определен вътрешен продукт. показател пространство. съответстващ на този вектор пространство. В тази статия, оригиналът ще бъде взето на първото определение.

п тримерно Евклидово пространство е означен с E п. ^> Също така често се използва символ R п ^> (освен ако контекстът ясно, че пространството има Euclidean структура).

Официалното определение [| ]

За определяне на евклидовата пространство е най-лесно да се вземат като основната концепция на скаларно произведение. Вектор пространство се определя като краен двумерен вектор пространство над реалната сфера. на вектори, чиято реална функция е зададена ( # X22C5. # X22C5; ). със следните три свойства:

Афинно пространство. съответстващ на този вектор пространство, наречена Euclidean афинно пространство или просто Евклидово пространство [1].

Пример Евклидово пространство - координира пространство R п. ^> Състоящ се от всички кортежи на реалните числа (х 1. х 2. # X2026;. х п). , X _ \ ldots, х _),> където вътрешната продукт, определен от формула (X. Y) = # X2211; I = 1 н х и у, = х 1 Y 1 + х 2 г 2 + # X22EF; + X п у п. ^ X_y_ = x_y_ + x_y _ + \ cdots + x_y _.>

Дължини и ъгли [| ]

Определя се на евклидово пространство вътрешен продукт достатъчно, за да се въведе дължина геометрични понятия и ъгъл. ф дължина на вектора се определя като >> и обозначени (ф ф.) | ф |. [2] [3] положителен определеност скаларен продукт гарантира, че не-нулева дължина вектор не е нула, и от bilinearity следва, че | а ф | = | а | | ф |. който е пропорционален на дължината на векторите пропорционални.

Ъгълът между векторите U и V, определени от формула # X03C6; = ARccOS # X2061; ((X Y) |. X | | у |) ..> \ десен)> От теоремата за уют че двумерен евклидово пространство (евклидовата равнина) определянето на ъгъла съвпада с необичайно. Ортогонални вектори, като в триизмерното пространство могат да бъдат определени като вектор, ъгълът между които е равна на # X03C0; 2.>.>

Коши - Шварц - Шварц неравенство и триъгълника [| ]

имаше една празнина в горното определение на ъгъла на ARccOS # X2061; ((X Y) |. X | | у |)> \ дясно)> е бил идентифициран, е необходимо, че неравенството | (X у.) | х | | у | | # X2A7D; . 1> \ дясна | \ leqslant 1.> Това неравенство е наистина задоволени по евклидово пространство, тя се нарича неравенство на Коши - Шварц - Шварц. Това неравенство, от своя страна, следва неравенството триъгълник. | ф + о | # X2A7D; | ф | + | V |. неравенство триъгълник с дължина на свойствата, изброени по-горе, означава, че дължината на вектора е норма на вектор пространство Euclidean и функция г = (х у.) | х # X2212; у | сета в евклидово пространство метрично пространство структура (тази функция се нарича Евклидовата метрика). По-специално, разстоянието между елементите (точки) х и у координата пространство R п ^> е дадена от формула г (х. Y) = # X2225; х # X2212; ш # X2225; = # X2211; I = 1 п (х и # X2212; у;) 2. \ mathbf) = \ | \ mathbf - \ mathbf \ | = ^ (x_-у _) ^ >>>.

Алгебрични свойства [| ]

Ортонормирани бази [| ]

Ортонормирана база на Euclidean (вектор) пространство - това е основата. състояща се от взаимно ортогонални вектори на единица норма. Ортонормирани бази са най-подходящи за изчисляване. Например, скаларен продукт на вектори с координати (с 1. 2. # X2026;. а п), а _ \ ldots, а _)> и (б 1. б 2. # X2026;. б н), б _ \ ldots, б _)> в база ортонормирана може да бъде изчислена от формула (а. б) = 1 б 1 + 2 + 2 б # X22EF; + A п б п. b_ + a_b _ + \ cdots + a_b _.> В който и да е евклидово пространство там съществува база ортонормален. Избор на два евклидово пространство ортонормирани бази и прехвърлянето им от един друг линейно карта. може да се докаже, че всеки два от Euclidean пространство на същите размери са изоморфни (по-специално, п двумерен Евклидово пространство е изоморфни с R п ^> със стандартна вътрешна продукт).

Правоъгълната проекция [| ]

Векторът се нарича ортогонална подпространството, ако тя е ортогонален на всички вектори на този подпространство. Ортогоналната проекция на х към подпространство U - вектор часа. U. ортогонална така, че х е представен във формата на U + з. където ф # X2208; U. Разстоянието между краищата на векторите U, и х е минималното разстояние между разстояние от края на вектора х на подпространството U. на ортогонална проекция на вектор на подпространството винаги има за изграждането му е достатъчно да се приложи методът на ортогонализиране Грам - Schmidt ортонормирана основа за единство в подпространството и този вектор. Правоъгълната проекция в пространства с големи размери се използват, например, в метода на най-малките квадрати.

Dual пространства и операторите [| ]

Всеки вектор х Евклидово пространство определя линейни функционални х # X2217;> в това пространство, определено като х # X2217; (Y) = (х. Y). (Y) = (х, у).> Това картографиране е изоморфизъм между пространството Euclidean и двойна пространство [4] и им позволява да бъдат идентифицирани, без компромис изчисление. По-специално, операторите спрегнати могат да бъдат разглеждани като действа от оригиналния пространство, а не на изделията с двойна употреба към него, както и да определят оператор самостоятелно долепени като оператори, която съвпада с конюгат с тях. ортонормирана база матрица е спрегнатата транспозиция матрица оператор към първоначалния оператор, както и матрица е симетрична оператор самостоятелно долепени.

Движение на евклидовата пространство [| ]

Движение на евклидовото пространство - то се трансформира. запазване на показателите (наричани още изометрични изгледи). Пример движение - паралелно превод от вектор V. карти точка Р точка р + V на. Лесно е да се види, че всяко движение е състав на паралелен трансфер и трансформация запазване фиксирана една точка. Избор на фиксирана точка за начало, всяко такова движение може да се третира като ортогонална трансформация. Ортогонални трансформации н тримерно пространство Euclidean образуват група означена О (п). Избор на ортонормирана база на пространството, тази група може да бъде представена като група от матрици п х п. отговарят Q T Q = Е.> Q = Е ,,> където Q Т >> - транспонирана матрица и Е - матрица идентичност.

Примери [| ]

Илюстративни примери Euclidean пространства са пространства:

По-абстрактен пример:

пространство на недвижими полиноми р (х) на степен не по-голямо от п. скаларен продукт, определен като интеграл на продукта от крайния сегмент (или цялата линия, но бързо намалява функция тегло, като например # X2212; >> х 2).