Електронен учебник по геометрия
# 1043; # 1083; # 1072; # 1074; # 1072; 4. # 1051; # 1080; # 1085; # 1080; # 1080; # 1074; # 1090; # 1086; # 1088; # 1086; # 1075; # 1086; # 1087; # 1086; # 1088; # 1103; # 1076; # 1082; # 1072; # 1085; # 1072; # 1087; # 1083; # 1086; # 1089; # 1082; # 1086; # 1089; # 1090; # 1080;
Примери за решаване на проблеми
Задача 1. Добави уравнението на окръжността, минаваща през три точки: А (4, 1), В (-3, -6), C (5, 0).
Решение. Уравнението на окръжността, минаваща през точка А (4, 1), В (-3, -6), C (5, 0), погледнем формата. Тъй като точки А, В и С принадлежат към желания обиколката, след това се замества в екв техните координати, ние получаваме система от три линейни уравнения:
реши, че имаме :. , ,
след това # 8213; уравнение на окръжност.
За да намерите радиуса на центъра на окръжността и ние представяме последното уравнение за канонична форма. където # 8213; център координира, # 8213; кръг радиус. В резултат на това ние имаме:
Задача 2. Добави каноничната уравнението на елипса, чиято огнища лежат върху оста у и са симетрични за произхода, ако разстоянието между directrices е 9, и разстоянието между огнища е 4.
Решение. Ако фокусите на елипсата са разположени по оста. каноничната уравнението на елипсата има същата форма. но в този случай. , Изместването на елипсата изчислява по формулата. Директорка има уравнение.
В нашия случай. ; разстоянието между directrices равни. Но. т.е.. и да разберете системата на уравнения. , Тъй като. след това.
Отношение към канонично уравнение на елипса :.
Задача 3. Напишете уравнението на допирателната към окръжност. извършва от точка А (1, 6).
Решение. точка А на не принадлежи към кръга, като. допирателна уравнение ще се търси във формата. Една точка е допирателна принадлежи, така че да има. кръг уравнение, което даваме на каноничната форма.
Системата от уравнения
определяне на обща точка линия и окръжността, която на първото уравнение във втория заместител:
Squaring условията на миналата уравнението и подобни термини, ние имаме:
Тъй линия допирателна към окръжността на това уравнение има уникален разтвор. Следователно неговата дискриминантен е нула, която е:
След това. # 8213; необходимите уравнения на тангенти.
4. Създаване на Task допирателна на уравнението на елипсата. проведено от М (12; 3).
Решение. M не принадлежи на елипса, както. Намерете място за контакт, като се предполага, че # 8213; координати на точката на докосване:
Разтворите на първата (квадратичен) уравнението са:
Заместването на стойностите, получени при второто уравнение, ние откриваме, съответно; , Тогава ние имаме точката на докосване. и уравнението на допирателната към елипсата да изглежда така:
Задача 1. Напишете уравненията на допирателните към хипербола. успоредна на линията.
Решение. Уравнението на допирателната към формата или хипербола. Тъй като времето тангента, и тази линия е успоредна на, те са пропорционални на коефициентите на променливите, един от двамата. Тъй като допирна точка принадлежи на хипербола, един от двамата.
Решени като система от уравнения. Ние се получи. След това. Ето защо, в уравнението на допирателната към
хипербола има формата.
Задача 2. Намерете асимптотата на хипербола:
Решение. Координатите на асимтотична посока удовлетворяват уравнението. и уравнението на асимптотата се изчислява по формулата:
т.е. , или къде.
Тогава асимптоти уравнения са:
В резултат на конвертирането на последните уравнения получаваме уравненията на асимптоти:
Задача 3. Определяне на уравнението на асимптоти на хипербола.
Решение. Това уравнение хипербола, която даваме на формата. Координатите на асимтотична посока като решенията, които намираме уравнението. къде. , Ние имаме. Следователно ,. # 8213; Вектори асимтотична посока на хиперболата. Уравненията на своите асимптоти, определени от уравнения на формата:
къде. , От това следва, че # 8213; уравненията на асимптоти на хипербола.
Задача 1. Създаване на парабола уравнение, ако F (4, 3) # 8213; съсредоточи и директриса уравнение :.
Решение. нека # 8213; произволна точка от параболата. По дефиниция. където # 8213; разстоянието от тази точка до направляващата.
Задача 2. Намерете най-късото разстояние от правата линия на параболата.
Решение. Ако линията не пресича параболата, най-късото разстояние от правата линия на параболата е разстоянието от линията до точката на параболата, където допирателната към параболата е успоредна на дадената линия, в противен случай разстоянието е нула. Ние изграждане на уравнението на допирателната към параболата, права линия, успоредна на техниката. Коефициентът намерена от условието, че тангентата и параболата трябва да има само една обща точка:
дискриминантен първото уравнение трябва да е равна нула :. къде. Уравнението на допирателната. Ние считаме, разстоянието между тази линия и допирателната. Вземете за допирателна точка М на (-9 0) и да намерят формула разстоянието от тази точка на даден ред:
Желаният разстоянието е равно на 2.
Задача 1. Когато какви стойности на А и Б групите от уравнения: 1) централна крива; 2) параболична крива; 3) крива с безкраен брой точки?
Решение. Уравнението на кривата се дава от центъра на системата:
Следователно, за да намерите координатите на центъра на кривата като решение на
Изчисляваме определящите фактори, необходими за намирането и.
Тази система разполага с:
# 8213; уникален разтвор (т.е., централна крива) на. ;
# 8213; има центъра (т.е. кривата е параболичен) с;
# 8213; Той има безкраен брой разтвори (т.е., кривата има централна линия) при. ,
Отговор: 1) крива е в центъра. ; 2) когато кривата е параболичен; 3) кривата има безкрайно много центрове в. , P # 1077, # 1096, # 1077, # 1085, # 1080; д в Maple.
2. Проблем крива от втори ред, определен от уравнението. На каква стойност на параметъра е права линия: 1) диаметър; 2) тангенциално; 3) асимптота на кривата?
Решение. 1) Тази крива е централно. Решаването на системата от уравнения. намерите на нейния център. Direct е диаметърът на кривата, ако тя преминава през центъра му. Ето защо, когато прав диаметър.
2) Пряка е допирателна, когато системата
Тя има уникално решение. Поради това уравнение трябва да има две съответстващи решения. Ето защо, дискриминантата на това уравнение трябва да бъде равна на нула:
По този начин, пряко или тангенциално към тази крива.
3) Да се определи асимптоти на кривата. Координатна и вектор посока на асимптотичната удовлетворява уравнението:
Ние се изчисли стойността на буквите и на уравнението.
Ние имаме. , Тогава асимптоти на кривата са директни:
Нито една от тези линии не съвпада с линията. независимо от броя.
Отговор: 1) линия е диаметърът на кривата на; 2) правата линия е допирателна към тази крива при или; 3) за всяка линия не е на асимптота на кривата. P # 1077, # 1096, # 1077, # 1085, # 1080; д в Maple.
Задача 3. Напишете уравнението големи диаметри на кривата, определена от уравнението:
Решение. Ъгловите оси коефициенти се определят от уравнението. За тази крива, ние имаме :. , Права линия с наклон не е асимптотично. Следователно, основните диаметри (ос) са дадени от уравненията на кривата:
Да превърнем последното уравнение, получаваме:
Задача 4. Да доведе до канонична форма на уравнението на линията.
Тъй като и двете. следователно кривата на елиптичен тип.
Решаване на квадратно уравнение. Ние се получи. , Canonical уравнение е :. Заместването на съответните стойности на буквите, получаваме каноничното уравнение на елипса :.
Целева 5. Намаляване на каноничната форма на уравнението на линията.
Тъй като и двете. това означава, че кривата # 8213; хипербола.
Решаване на квадратно уравнение. Ние се получи. , Замествайки тези стойности в уравнението. Ние получи каноничното уравнение на хипербола:
Целева 6. Намаляване на каноничната форма на уравнението на линията.
Тъй като и двете. това означава, че кривата # 8213; парабола. Параметър уравнение намираме от състоянието. , Тогава каноничното уравнение на парабола, е:
Проблем 7. Оставете да каноничната форма на уравнението на линията.
Решение. Тъй като. координатната вектори и са основните направления.
Тази линия не разполага с център, тъй като системата в противоречие. Ето защо, тази линия # 8213; парабола. Основната диаметър е конюгат вектор. така има уравнението. , Тази линия се пресича параболата в този момент. който е на върха на параболата. Формула координатна система в точката на прехвърляне са на формата. така че тази линия има уравнението в системата. Ако промените посоката на оста х, която е, да се въведе нова координатна система. къде. , формулите за трансформация са на формата. Затова се счита, по линията на новата координатна система има каноничен уравнение.
Проблем 8. Дайте каноничната форма на уравнението на линията.
Решение. 1) напиши характерната уравнението на тази линия и да намерят корените:
2) Намираме координатите на векторите и.
3) се изчисляват коефициентите и.
Уравнението на тази линия в координатната система, има следния вид: или. В този случай, не е необходимо да се прехвърлят на произхода, тъй като ние вече са получили каноничното уравнение на чифт успоредни линии :. ,
Проблем 9. Оставете да каноничната форма на уравнението на линията.
Решение. Пишем линията това уравнение, както следва:
Тази линия се разделя в две пресичащи се линии :. ,