Еквивалентно на системата уравнения

В тази статия ще говорим за системата от уравнения са еквивалентни. Тук ние даваме подходящо определение, както и да анализира какви са превръщането и можете да превключите от оригиналната система от уравнения, за да бъде еквивалентно на системата си.

Навигация в страниците.

Определяне на еквивалентни системи от уравнения

В учебници [1, стр. 199; 2, стр. 74] дава определение на еквивалентни системи уравнения с две променливи:

Две системи от уравнения с две променливи се наричат ​​еквивалентни. ако те имат един и същ разтвор, или ако двете системи не разполагат решения.

В гимназията, тя може да се отнесе за система с произволен брой уравнения и променливи [3, стр. 265].

Две системи уравнения се наричат ​​еквивалентни. ако те имат един и същ разтвор, или ако двете системи не разполагат решения.

Примери neravnosilnyh и еквивалентни системи, дадени в следващия параграф.

Дали системата уравнения еквивалент на данни?

За да се направи заключение за еквивалентност или neravnosilnosti системите за данни с уравненията, е необходимо предварително да се знае решаването на тези системи. Ето един пример. Да предположим, че ние знаем, че системата от уравнения и нямат решения (това е съвсем очевидно: първата съдържа уравнението още няма решения 0 · х = 4, а вторият - на уравнението | х | = -1.). И по дефиниция на система от уравнения, които нямат решения са еквивалентни.

За да се докаже neravnosilnost системи от уравнения, това е достатъчно, за да донесе конкретно решение, което е решение на системата, но не и решение на другия. Например, че е лесно да се докаже, че системата от уравнения и neravnosilny. В действителност, един чифт (0, 0) е решението на първата система, когато тези стойности на двете променливи в уравнението на завиване надясно числено равенство 0 = 0 и 0 = -0. но не и второто решение, тъй като вторият му уравнение чрез заместване на тези стойности дава невярна равенство 0-0 = 2. И по дефиниция еквивалентни системни решения трябва да са едни и същи.

Но как да се докаже еквивалентността на системите на уравнения, ако техните решения не са известни? Разбира се, че е възможно да се намерят решения, а след това направи заключение относно еквивалентността на базата на определянето. Но понякога това е задължително решаване системи, това се отнася за случаите, в които става ясно, че една система се получава от друга страна с помощта на някои така наречени еквивалентни преобразувания. Ние ще ги проучи по-подробно в следващия раздел, но за сега ние дам един пример.

Помислете две системи от уравнения и. Един внимателен поглед към техните записи могат да се направят следните неща: уравнението на втората система е резултат от добавянето на мандат със срок на съответните части на първата система от уравнения и второто уравнение на втората система, получени от второто уравнение на първата система чрез прехвърляне в друга част на думата. Описаното превръщане са еквивалентни, и резултатът от тях, система, еквивалентна на оригинала. По този начин, тези системи са еквивалентни. И ние се обръщаме към анализ на основните еквивалентни преобразувания.

Еквивалентни системи за преобразуване на уравнения

Има редица трансформации, които позволяват да се трансформира системата уравнения е еквивалентно на това в системата. Те се наричат ​​еквивалентни преобразувания, и е установил, основни приложения в решаване на системи уравнения. Тези трансформации могат да поемат свойства на уравнения. Помислете и да обоснове основните от тях.

Обмяна на системата от уравнения дава еквивалентна система от уравнения.

Доказателство за това е очевидно. Чрез определянето на разтвора от уравнения всеки един разтвор на системата е разтвор на всеки уравнение на системата. Ясно е, че това е решението на всеки уравнение система със същите уравнения, но разменени места, а след това, е решение, и разменят местата с уравнения на системата.

Например, и - еквивалентно на системата.

Ако някоя уравнение в системата заменени с еквивалентен уравнението. получената система е еквивалентна на оригинала.

Доказателство за този факт, също лежи на повърхността. Всяко решение на системата уравнения е решение на всеки уравнение на системата. Знаем също така,, ​​което е еквивалентно на уравненията имат едни и същи решения. Следователно, всеки разтвор на първоначалната система от уравнения е разтвор на система от уравнения, в които някои уравнение се заменя със еквивалент уравнението към него, и следователно решаването на тази система.

Значението на доказани свойства е огромен: той ни дава право да работят с отделна система от уравнения. С тях можем да извършват всички видове вече познатите ни са еквивалентни на конверсия, например, обръщането на условия, условията на прехвърляне от едната страна към другата с обратен знак, умножете или разделят двете страни на уравнението с различно от нула номер и т.н.

Ето един пример. Като се има предвид система. В първия си уравнение може да извършва умножение на числа, т.е., да се замени неговия еквивалент на уравнение 12 · х-у = 1. И през второто уравнение, можете да събирате всички условия от лявата страна, за да отворите в скобите. след това да предизвика подобни термини. Резултатът ще бъде еквивалентно на системата на по-просто форма.

Ако лявата и дясната част на система от уравнения, за да добавите левия и десния съответно от другите уравнения на системата, в резултат на системата ще бъде еквивалентно на оригинала.

За да докаже това ние показваме, че всяко решение на оригиналната система от уравнения е решение, получени, и обратното, че всяко решение на получената система е решение на оригинала. Това ще означава, еквивалентността на системите.

Всяко решение на първоначалната система е решение за всеки един от уравнението му, тя привлича всички уравнения в правилната числено равенство. Ние знаем, че имуществените числени уравнения. който гласи, че терминът със срок допълнение на истинските числени уравнения, получени истинско равенство. Това означава, че първоначалното решение, взето контактната система е разтвор, получен чрез прибавяне към тях на termwise друго уравнение. Следователно, този разтвор е разтвор, и получената система от уравнения, тъй като тя е разтвор на всяко уравнение.

Сега обратно. Вземете който и да е система за решение в резултат, това е решение на всеки един от уравнението му, това означава, че ги привлича в правилната числено равенство. Налице е имот, който ви позволява да изпълнявате чрез изваждане верни числени уравнения. Изваждане на уравнението, съответстваща на уравнението получава като резултат от добавянето на срок от термин, равен, sootetstvuyuschee допълнение рано уравнение. Това ще даде правилния числено равенство, което съответства на първоначалната система от уравнения за добавянето към нея на друго уравнение. От това следва, че решението ще бъде взето на всяко решение на уравнението на оригиналната система, а оттам и на решението.

Ето един пример за това изпълнение е еквивалентно преобразуване. Да вземем една система от две уравнения с две променливи. Добавянето на лявата и дясната страни на първото уравнение в ляво и дясно съответно на втория, ние получаваме уравнение с една променлива 3 · у = 3. и системата става. Системата от уравнения има проста форма, но това е еквивалентно на оригинала.

Ясно е, че ако системата съдържа три или повече уравнения, ние не може да бъде ограничено със срок, като към лявата и дясната страна на избрания уравнение левия и десния хълбок на уравнение и добавяне на лявата и дясната страна на две, три, но най-малко до края на системата от уравнения. В резултат на тези действия все пак ще получи равностойна система от уравнения.

На докаже преобразуване равностойност се основава на един от методите за решаване на системи уравнения - метод на алгебрични допълнение.

Ако една от уравнения е променлива, изразена по отношение на други променливи във всяка друга система уравнение може да бъде заместен за променливата на своята експресионна система в резултат от тази трансформация е еквивалентно на оригинала.

Ето един пример за обяснение. Вземете системата. В първата променлива х се изразява с уравнението у. Бъдете първото уравнение на системата непроменена, втори заместител на х своя израз по отношение на у. т.е., 2 · у-1. В резултат на това се стига до една система, която е еквивалентна на оригинала. Нека да го докаже.

Нека двойката (x0 Y0.) - първоначалната система, след това x0 = 2 · Y0 -1 и x0 + 3 · y0 -1 = 0 - правилното цифров равенството. Ние показваме, че това уравнение (2 · Y0 -1) + 3 · Y0 -1 = 0 е също така, че ще се окаже, че (x0. Y0) е разтвор, получен след преобразуване, това ще означава, че получената система Той има същите решения като оригинала.

Лесно е да покаже, че е предвидено x0 = 2 · Y0 -1 експресия стойности x0 + 3 · Y0 -1 и (2 · Y0 -1) + 3 · Y0 -1 равни. За този състав разликата между тях и да се покаже, че е равна на нула: x0 + 3 · Y0 -1 - ((2 · Y0 -1) + 3 · Y0 -1) = (x0 - (2 · Y0 -1)) + ( 3 · Y0 -1- (3 · Y0 -1)) = x0 - (2 · Y0 -1). и получената експресията равно на нула, тъй x0 равенство = 2 · Y0 -1. Така x0 на равенство + 3 · Y0 -1 = (2 · Y0 -1) + 3 · Y0 -1. но справедлив и равенство x0 + 3 · Y0 -1 = 0. и са собственост на преходност предполага валидността на (2 · Y0 -1) + 3 · Y0 -1 = 0.

По същия начин ние можем да докажем, че всяко решение на системата от уравнения е решение на оригиналната система. В резултат на това може да се заключи, че системите са равностойни.

Същността на доказателствата счита твърденията в общи линии едни и същи. Това означава, че е показано, че всяко решение на първоначалната система е разтвор, получен след преобразуване, и обратно.

Това е еквивалентно на преобразуването дава разрешение за решаване на системи уравнения чрез заместване.

В заключение, то обикновено е за решаване на системи уравнения разглобена в размер да конвертирате използват заедно, а понякога и по няколко пъти. Освен това, на практика, вие ще го видите.