Diophantine уравнения - това
- алгебрични. алгебрични уравнения или системи. уравнения с рационални коефициенти и решения-ryh се намират изцяло или рационални числа. Обикновено се приема, че диференциални уравнения. Те имат редица неизвестни, надминавайки броя на уравнения, във връзка с която са били т.нар. като неопределени уравнения. Концепцията на диференциални уравнения. в съвременната математика е често по-нататък алгебрични. уравнения, разтвори са открити до ryh сред алгебрични числа. брой всяко алгебрични. разширяване на сферата на рационални числа Q, сред номера на р-ADIC и т. п.
Изследване на диференциални уравнения. Тя се отнася до областта на границата между теорията и алгебрични числа. геометрия (вж. Diophantine геометрия).
решения на уравнения в цели числа, е един от най-старите Математически. задачи. В началото на втория хилядолетие преди Христа. д. Вавилонците са били в състояние да реши системи от уравнения с две неизвестни. Най-големият разцвет на тази област на математиката е достигнал в древна Гърция. Основният източник за нас е "Аритметика" Diophantus (вероятно 3 в. Пр. Д.), съдържащи различни видове уравнения и системи. Тя Diophantus (от името му - името ". Д. в") предвижда редица методи за изучаване на уравнения 2 и 3 градуса, с изключение на 19-ти век. (Вж. [1]). Създаване на гръцки учени от теорията на рационални числа е довело до разглеждането на рационални решения на неопределени уравнения. Тази гледна точка се провежда последователно в книгата на Diophantus. Въпреки, че работата на Diophantus съдържа адрес само конкретни диференциални уравнения. но има основание да се смята, че притежава някои общи техники.
Изследване на диференциални уравнения. Той обикновено се свързва с големи трудности. Освен това, можете да укажете в полинома
с цели коефициенти, така че не е алгоритъм позволява всяко цяло число huznavat дали уравнението е решими
по отношение на Y 1 Y (вж. диофантово уравнение разрешимост проблем). Примери за такива полиноми могат да бъдат написани ясно. За тях това е невъзможно да се даде изчерпателно описание на решенията, (ако се приемат тезата Чърч).
където А и В - относително прости числа, има безкрайно много решения (ако х 0 и у 0 - разтвор, след това числата х = х + т.к. 0, у = 0 - An, където п е цяло число, също ще бъде разтвори) , Друг пример на диференциални уравнения. е
Положителни цялостни решения на уравнението представлява дължината на крака X, Y и Z на хипотенузата на правоъгълен триъгълник с целочислени дължини и наречените страни. Питагорейските числа. Всички тройни са сравнително премиер питагорейските числа могат да бъдат получени от следните формули:
където ти п - взаимно прости числа (т> п> 0). Diophantus в Op. "Аритметика", ангажирани в намирането на рационално (не е задължително неразделна) вземане на специални видове диференциални уравнения. Обща теория на диференциални уравнения. 1-ви клас е създаден през 17-ти век. К. G. Bashe (S. G. Bachet); решението на системите DA има. детайли първи клас, които виждате. Член на линейни уравнения. В началото на 19-ти век. работи Ферма (P. Ферма), J. Wallis (J. Wallis), Ойлер (L. Ойлер), Lagrange (J. Lagrange) и Гаус (S. Гаус) се главно проучен D . у. вид
където А, В, С, D, Е, F - числа, т.е. нехомогенно общо уравнение на степен 2 с две неизвестни ... С верижна дроб Lagrange изучава общите нехомогенни диференциални уравнения. 2-ра степен с две неизвестни. Гаус изработена обща теория на квадратните форми, което е в основата на решението на някои видове
В D. проучвания. над 2-ра степен с две неизвестни е постигнат значителен напредък, само през 20 век. Thue (A. T1she) установено, че диференциални уравнения.
където a0. 1. п в -. Числа и полином a0 т п + A1 т п-1 +. + И н е който не може да бъде намален в областта на рационални числа, не може да има безкраен брой целочислени решения. Въпреки това, метод Thue прави невъзможно да се изчисли всички решения граници, нито броя на решенията. A. Baker (A. Baker) получи ефективни теореми за границите на някои решения на тези уравнения. В. Н. Delone създаде различен метод на изследване, които обхващат по-тесен клас на диференциални уравнения. но ви позволява да се определят границите на броя на решенията. По-специално, метод му е напълно решен диференциални уравнения. вид
Има много области, в теорията DA. По този начин, добре известен проблем на теорията на диференциални уравнения. Това е въпросът за Farm - хипотеза на никой за п> 3 nontrivial решения на диференциални уравнения.
Изследването на цели разтвори на уравнение (1) е естествен обобщение на проблема за питагоров триъгълник. Положителен разтвор Ферма за п = 4, получен чрез Ойлер. С този резултат, проблемът се свежда до доказване на липсата на ненулевите целочислени решения на уравнението (1) за странно председател р Ферма. Пълното разследване на решения на уравнение (1) не е завършено (1978). Трудности в решението си, свързани с липсата на уникалност на множители на ринга на алгебрични. номера. делител теория в пръстени от алгебрични числа. числа дава възможност да се установи валидността на теоремата на Ферма за много класове от първостепенно експоната п.
Аритметични пръстени на алгебрични. номер се използва също и в редица други задачи на областния прокурор. И така напр. методите изследвани подробно формата на уравнение
където N (а) - алгебрични правило. на номер, и се намират рационални числа х L. х 2. х п отговарят уравнение (2). Уравнения на този клас включват, по-специално, Pell уравнение х 2 -dy 2 = л. В зависимост от стойностите на А1. с. в (2), тези уравнения са разделени на два типа. Първият тип - т.нар. пълни форми - са тези на уравнението, у к-AI съществува между ryh tlineyno независими номера над областта на рационалното номера Q, където m = [Q (а1 с.): Q] - степен алгебрични област. числа Q (a1. с) над Q. До непълни формуляри включват форми в к-ryh максималния брой линейно независими ай-малко. Случаят с пълни форми по-лесно и в общи линии си изследвания доведени до край. Възможно е, например. за който и да е пълна форма, за да опише всички свои решения (вж. [2], гл. 2).
Вторият тип - т.нар. непълни формуляри, е по-трудно и теорията е далеч от приключване (1978). В проучването на тези уравнения се използват Diophantine приближения. Уравнения от този тип се отнася уравнение
където F (х, у) - несводима хомогенен полином от степен. Това уравнение може да се запише като
където AI - всички корените на полином F (Z, л) = 0. съществуването на безкрайно последователности на разтвори на уравнението (3) ще доведе до отношенията на формата
за всеки ай. Без загуба на общоприложимост, може да се предположи, че поради това достатъчно голям I, неравенство (4) ще противоречи Thue - Siegel - Rota теорема, откъдето следва, че уравнението F (х, у) = C където F- несводима форма на степен по-голяма от или равна на 3 не може да има безкраен брой решения.
форма (2) от уравнението са сравнително тесен клас на всички диференциални уравнения. Напр. въпреки простата форма. уравнение
които не са включени в този клас. Изследване на разтвори на втората от тези уравнения се отнася до сравнително добре проучени точка D. u.- представяне на номера от квадратичен форми. теорема състояния разтворимост уравнение Лагранж (6) за всеки вид N. Сумата от три квадратчета означава всяко число. различни от 4 номера на форма А (8k-1), където AI, к, - неотрицателно (Гаус теорема). Известни критерии за наличието на рационални или целочислени решения на уравнения на формата
където F (х1, х 2 х п.) - квадратна форма с цели коефициенти. По този начин, Минковски теорема - Хасе твърди, че уравнението
където Aij и б са рационални, позволява рационално решение, ако и само ако той е разтворим във реални числа, а в р-ADIC номера за всяко просто число стр.
Представителство на номера произволни оформя трета степен и форми на по-висока степен изследвани за по-малко от NZ-срещащи се тук, е често основните трудности. Един от основните методи за изучаване на представяне на номера образува по-висока степен на тригонометрични метод суми. Този метод се състои в изрично пост чрез Фурие неразделна брой на разтвори, и след това се използва метода на кръг се извършва, в смисъл, експресията на разтвори на съответните условия на броя на сравнения решения. Метод тригонометрични количества по-малко в сравнение с други методи зависят от спецификата на алгебрични уравнения.
Има редица специфични диференциални уравнения. решен от елементарни методи (вж. [5]).
Литература [1] Виноградов I. М. Основи на теорията на номера, 8 изд. М. 1972 [2] Borevich Z.
Енциклопедия по математика. - М. съветски енциклопедия. I. М. Виноградов. 1977-1985.
Вижте какво "Diophantine уравнение" в други речници:
Diophantine уравнение - алгебрични уравнения или системи с цели коефициенти, с броя на неизвестни, надминавайки броя на уравнения, и които търсят числа или рационални решения ... академично издание на речника
Diophantine уравнение - алгебрични уравнения или системи с цели коефициенти, с броя на неизвестни, надминавайки броя на уравнения и които търсят числа или рационални решения. * * * Diophantine уравнение Diophantine уравнения, алгебрични ... ... академично издание на речника
Diophantine уравнения - (кръстен на гръцкия математик Diophantus) алгебрични уравнение или система от алгебрични уравнения с цели коефициенти, с броя на неизвестни, надминавайки броя на уравнения, и чието цяло иска или ... ... The Great съветска енциклопедия
Diophantine уравнение - алгебра. Ур Ния или техните системи с цели коефициенти. с броя на неизвестни, надминавайки броя на Ур отбележи, и са се опитвали да ryh числа или рационални решения. Кръстен Diophantus на Александрия ... Natural. Collegiate речника
Diophantine проблем добавка тип - Diophantine уравнения за ryh на задачата за намиране целочислени разтвори и ръж едновременно може да се разглежда като проблеми добавка, т.е., тъй като проблемът на дяла на цяло число N (произволна или подчинен на допълнителен ... ... енциклопедия по математика ..
Diophantine сближаване - раздел теорията за номер в ром учи приближение нулеви стойности на функциите на краен брой целочислени аргументи. Г. първоначалната задача п. На рационални приближения до реални числа, но теорията на еволюцията е довела до проблеми в математическа енциклопедия ...
УРАВНЕНИЕ - Уравнението е математически коефициент, който изразява равенството на две алгебрични изрази. Ако равенство се отнася и за всички допустими стойности на съставните си неизвестен, той се нарича за самоличност; например, отношението на формата ... ... Енциклопедия Колиър
Diophantine сближаване - на теорията на числата, изучаване сближаване на реални числа от рационални числа, или, в по-широко разбиране на този въпрос, въпросите, свързани с решението на числа на линейни и нелинейни неравенства и системи за неравенства с ... ... The Great съветска енциклопедия
- Diophantus и Diophantine уравнения. Тази книга се занимава с методите на Александрийската математик Diophantus за решаване на неопределени уравнения на рационални числа втори и трети порядък и тяхната история. По протежение на ... Прочетете повече Купи за 285 рубли
- Diophantus и Diophantine уравнения. Номер на издаване 107. Bashmakova IG Тази книга се занимава с методите на Александрийската математик Diophantus за решаване на неопределени уравнения на рационални числа втори и трети порядък и тяхната история. По протежение на ... Прочетете повече Купи за 232 рубли
- Diophantus и Diophantine уравнения. Издаване 107. Bashmakova IG Тази книга се занимава с методите на Александрийската математик Diophantus за решаване на неопределени уравнения на рационални числа втори и трети порядък и тяхната история. Заедно ... Прочетете повече Купи за 211 UAH (Украйна само)