Диференциране на функции на една променлива

Определение. Производно на функцията в точката, когато връзката е границата на функцията увеличение в този момент на нарастване на аргумента (при условие, че съществува тази граница).

Производното или точката означен.

Така че, по дефиниция, имаме производно:

Процесът на намиране на производно се нарича диференциация.

Геометрична смисъл на производно. за тази функция негово производно за всяка стойност, равна на наклона на допирателната към графиката на съответната точка.

Физическата смисъла на производното: за тази функция. променящите се във времето х. негово производно е степента на промяна на функция у в даден момент х.

1) Ако ф и волта диференцируема в x0. След това сумата им е диференцируема в тази точка и

(Производното на размера на сумата на рани производни).

2) Ако ф и волта диференцируема в x0. след техния продукт е диференцируема в тази точка и

3) Ако U и V са диференцируема в x0 и функция V не е равна на нула в този момент, след това отношението е диференцируема в тази точка и;

4) В повечето практически случаи процеса на диференциация се редуцира до намиране на производно на сложна функция

Ако аргумент х е най-новата верига от функционални зависимости, ние ще го наричаме независима променлива (да се наблегне на факта, че промяната на този аргумент не зависи от поведението на други променливи). диференциация правило на композитни функции следва от следната теорема.

Теорема. Ако - диференцируема функция на аргументите, производното на съставна функция съществува и е равна на производно на тази функция на междинно аргумент и умножено по производно с междинно съединение аргумент и независимите променливи х, т.е., ...

Ако функцията е диференцируема в точката х т. Е. В този момент има ограничен производно че нарастване му могат да бъдат написани като

Начало, линеен по отношение на нарастване на функцията се нарича диференциална функция и означен

Производни на по-висок ред

Производната се нарича производна на първия ред. Производното на нарича втората производна ред (или втората производна) на функцията и е означен с или. Производното на по производно трети ред (или трети производно) на функцията и е означен с т, или и двете. D.

Производни на N-ти производно цел е производно на (п - 1) -. Th ред, т.е..

Производни, започвайки от второто, наречено по-високи производни ред.

Решаването на типични задачи.

Задача 1. Използване на определението на производно, производно на функцията на точка.

Решение. Даването на аргумента х на нарастване x0. намерите съответното нарастване на функцията:

Ние намираме на границата на това съотношение, когато:

Следователно, производната на функцията в точката на равен брой. които могат да бъдат написани на нашия нотация, както следва:

Задача 2. С помощта на правилата и диференциация формули за намиране производни на функции:

Основните свойства на неопределен интеграл

1) производно на неопределен интеграл равнява подинтегрален; диференциал на неопределен неразделна равна на подинтегрален, R. F.

2) определя чрез диференциална интеграл на функция е сумата от функции и произволна константа, т. Е.

3) постоянна фактор може да бъде изваден от - .. Под неразделна знак, т.е., ако е к = const¹0 г.

4) неопределен интеграл на алгебрични сумата от определен брой функции е равна на сумата от алгебрични интеграли на тези функции отделно, т.е.. E.

Основни методи за интеграция

Дефиниция на определен интеграл.

Нека функция, определена на интервала [а, б], на

когато размерът на формата (1) е неразделна сума за F функция (х) на [а, Ь].

L означават дължината на най-дългата частичен сегмент дял :.

Определение. Ако има краен срок на интегралната сума I (1). тази граница се нарича определен интеграла над интервала на [а, Ь] функция F на (X) и е определен, както следва:

В този случай, F функция (х) се нарича интегрируеми на [а, Ь]. Numbers А и В са наречени Долните и горните граници на интеграция, F (х) - подинтегрален. х - променлива на интеграция.

За integrability си достатъчно непрекъснатост в интервала [а, Ь].

Основните свойства на определен интеграл.

1) По дефиниция,

2) По дефиниция,

3) Какъвто и да е броят на а, б, в, винаги има равенство

4) Постоянното фактор може да се приема като знак за определен неразделна, т. Е.

5) определен неразделна функция на алгебрични сума, равна на сумата на техните алгебрични интеграли, т. Е.

Нютонът - Лайбниц.

Ако F функция (х) е непрекъсната върху интервала [а, Ь] и F (х) е функция на неговата примитивна на този сегмент, тогава формула Newton - Лайбниц

Решаването на типични задачи

REF1. Намери примитивен за функцията.

1) Функцията е лесно да се види, че той е от същия производно, и следователно също е примитивен за по R. Ясно е, че вместо да можете да поставите произволен брой 7 постоянна. По този начин, ние виждаме, че проблемът с намирането на примитивен има безкрайно много решения.

2) За функцията в интервала (0 + ¥) е примитивна функция. тъй като за всички х в интервала. Точно както в пример 1, функцията за всяка константа С е примитивна функция в същия диапазон (0 + ¥).

3) Тази функция не е примитивен за функцията на интервала. от равенство не е изпълнено в 0. Въпреки това, във всеки от интервалите, и функцията F е примитивен за е.

Задача 2. Оценка на интегралите:

1) Изчислява работата, извършена от един мол на идеален газ под обратен изотермично разширяване от

Решение: Когато обратим разширяване на един мол от идеалното газ под налягане се извършва чрез промяна на обема газ със сума DV елементарна работа DA = PDV. Общият работа експанзия на газ от първоначалния обем на V1 до краен обем V2

2) транслационно скоростта на движещото се тяло (м / сек). Определяне на пътя, изминат от организма в първите 10 секунди след началото на движението.

Решение: От где

Основи на Теория на вероятностите

Теория на вероятностите - клон на математиката, където се изучава законите на случайни събития.

Теория на вероятностите трябва да осигури количествена мярка за вероятността от случайни явления и да се изгради въз основа на това, математически модел на наблюдаваните случайни емпирични отношения.

Тест и събитие

Характерът и всекидневния живот често се сблъскват случайни събития, т. Е. С положенията, изходът от който не може да бъде точно предсказана. възприемане на процеса на реалността в този случай се извършва в резултат на наблюдения или тестове (опит).

При изпитване (наблюдение) е всяка налична често повтаряне на процеса срещащи се в прилагането на даден набор от условия.

Резултатът или изхода на съдебния процес се нарича събитие.

Има три вида събития: случайни, надеждни и невъзможно.

Събитие, което при изпълнението на даден набор от условия, могат да се появят, или не може да се случи, се нарича случайна.

Събитие, което се случва неизбежно, когато всеки изпълнение даден набор от условия, наречен валиден.

Събитие, което очевидно не може да се случи при изпълнението на условия, наречена предварително определен комплекс невъзможно.

Видове случайни събития

Случайни събития са разделени в следните типове: еднакво вероятно, и в противоречие съвместно.

Две или повече случайни събития се наричат еднакво възможни, ако условията на външния им вид са еднакви и няма основание да се смята, че нито една от тях, в резултат на теста е по-вероятно да бъде реализирана от други.

Събитията се наричат несъвместими, ако резултатът от проверка на изпълнението на един от тях не допуска прилагането на останалите.

Две събития се наричат съвместими, ако появата на един от тях не изключва появата на друг в същия тест.

Колективно изчерпателни събития

Ако се налага в резултат на теста да се направи един и само един от взаимно изключващи се събития. тези събития се наричат колективно изчерпателни събития.

Две взаимно изключващи се събития, формират пълна група от събития, наречена обратното.

Взаимно изключващи се събития, които имат същата възможност да се реализира, наречени крайните резултати изпитания.

Резултати са наречени благоприятни за събитието. ако упражняването на някои от резултатите е в същото време изпълнението на събитието.

манипулиране на събития

Определение. Ако всеки прилагане на предварително определен набор от условия, при които настъпва събитие. Това се случва, и събитието. Тогава ние казваме, че е свързано. и означен със символа или.

Ако е свързано в същото време тя води. т.е. събития се случват едновременно, или и двете не идват, а след това казваме, че събитията и са еквивалентни и обозначени със символа.

В случай, състояща се в появата на събития, така и. Той нарече продукт (или пресечната точка) и събитията. и е означен с или.

В случай, се състои в наличието на поне едно от събитията и. (Вероятно две наведнъж), тя се нарича сумата (или обединение) и събитията. и е означен със символ или

Събитието се състои във факта, че събитието се случва, и събитието не се проведе, се нарича разликата между събития и. и е означен с или.

Някои събитие е показана със символа. и невъзможното - със символа.

Събитие, срещу събитие. означен със символа.

Определяне на сумата и произведението на две събития могат да бъдат обобщени в неограничен брой събития.

Общо вероятност формула

Нека случай може да се случи при условие, че един и само един случай на цялата група от взаимно изключващи се събития. Тъй като не е известно кои от тези събития се случи, те се наричат хипотези.

Да приемем, че е необходимо вероятността от тези хипотези и условна вероятност на събитие А да се намери вероятността на събитията.

Теорема. Вероятността на събитието. което може да се случи само при условие, че един от взаимно изключващи се събития. формиране на пълна група от събития. равна на сумата на продуктите на вероятностите за всеки от тези хипотези до съответния условната вероятност на събитието. ,

Тази формула се нарича общо вероятност формула.

Да предположим, че може да настъпи събитие, при условие на една от взаимно изключващи се събития (хипотези). формиране на пълна група от събития. Нека вероятностите са известни да изпитат.

Производство на опит, в резултат на което на събитието.

Задължително да се надценяват вероятността от хипотези, при условие, че се е случило събитието.

Преоценка вероятности на хипотези могат да се извършват съгласно тестване формула хипотеза (Бейс "формула):

Така вероятността за хипотезата, след опита е фракция, числителя на която е продукт на вероятността от тази хипотеза на опита на вероятността на събитията на тази хипотеза, и знаменателят - сумата от същите работи за всички възможни хипотези в този случай (или общо вероятността на събитието).

5. Пример 5 магазин монтирани сензори максималната концентрация Допустимото прах във въздуха, всеки от които може да включва алармена система. Вероятност първия сензор е 0,8 секунди - 0.9, трети - 0.85, четвъртата - 0.7, петият - 0.75. 1) Намерете вероятността за достигане на максимално допустимата концентрация аларма работата прах? 2) аларма спъна. Каква е вероятността, че алармата се активира трета сензор?

Нека събитието е, че алармата тръгна. Това събитие може да се случи само в случай на един от несъвместими събития - включване сензор сигнал. Вероятността за състоянието на събитието са еднакви и равни. Събития формират пълна група като ,

Известен условна вероятност на събитието - вероятността от операция сензор :. , , , ,

1) изчислява вероятността за събитие по формулата на общата вероятност:

2) случай настъпили. Условната вероятност, че този сензор трета натоварване (събитие) Намерено на Бейс формула :. или

Отговор: 1) вероятността, че след достигане на максимално допустимата звучи алармата за концентрация на прах е;

2) вероятността, че алармата, когато това включва трета сензор, е равен.

Многократното независимо тестване.

Нека направи независими многократните опити, във всеки от които на събитието има същата вероятност. без зависимост от броя на проводима-тест (вероятност на събитие. противоположния случай. също постоянна и равна на).

Необходимо е да се намери вероятността, че дадено събитие ще се случи в тестовете точно веднъж.

Този проблем е решен от Бернули формула:

Тази формула също наречен формула на биномно разпределение, като дясната си страна е общ термин на Тригонометрия разширения.

С голям брой тестове за изчисляване на Бернули включва тежки изчисления. За да се избегнат тези трудности, то е препоръчително да се използва формула, която позволява определяне на приблизителната вероятност. , , , с настъпване на събитие.

местно Лаплас теорема

Теорема. Вероятността, че в независими проучвания, във всяка от които вероятността на събитието е постоянна и равна. събитие се случва само веднъж, е приблизително равна на (по-точна, колкото повече):

Таблица за положителни стойности на функцията е даден в Приложение 1 на това ръководство. Тъй като функцията - дори, т.е., ... че за отрицателни стойности на аргумента, са една и съща маса.

1. Дисперсия постоянна стойност, равна на нула :. ,

2. постоянен фактор може да бъде взето извън знака на дисперсия, преди да го изправят :. ,

3. дисперсия на сумата от няколко взаимно независими случайни променливи е равна на сумата от отклонения на тези стойности :.

4. дисперсията на разликата на две независими случайни величини е равна на сумата от вариациите на тези стойности :.

Забележка 2. За да се изчисли дисперсията биномно разпределение може да се използва следната формула. където - броят на тестове; - вероятността на събитието в един процес; - вероятността от събитие (от противоположния случай) в един съд.

Стандартно отклонение

Стандартно отклонение на случайната променлива е корен квадратен от дисперсията :.

Забележка 3. Въз основа на това определение означава разрез тези често използвани характер.

Пример 1. закон разпределение Set дискретни случайна променлива:

- очакването е по дефиниция са равни. или = 62;

- дисперсия с формулата, или;

- стандартно отклонение по дефиниция са равни. или;

2) За изготвяне на разпределителната функция трябва да използва своето определение и свойства: ако възможни стойности на случайната променлива принадлежат на интервала. ами ако. , ако:

3) вероятността за случайна променлива, попадаща в обхвата изчислява по формулата. В този случай. затова;

4) образуват правото на разпределение на случайната променлива. За да направите това, ние откриваме всички възможни стойности на случайна променлива:

Вероятност. който взема неговите възможни стойности са равни вероятности. т.е. и т.н.

По този начин, на закона на разпределение на случайната променлива е в следния формат: