Детерминанти на п-ти ред - studopediya

Нека A = произволно квадратна матрица на п-тия ред с реални (или сложни) елементи.

7. Определяне на детерминантата на A (детерминантата на п-ти ред) е алгебричната сума на п! термини, всеки от които е продукт п на елементите на матрицата, взети един от всеки ред и всяка колона. В този случай, продуктът се приема с "+", ако заместването на индексите на елементите, съдържащи се в него, дори и със знак "-" по друг начин.

Определяне на детерминантата: | A | =.

Например, когато п = 6 продукта А21 А62 А34 A46 A13 A55 е член на детерминанта, тъй като включва точно един елемент от всеки ред и от всяка колона. Смяна, състоящ се от своите индекси няма. Това четвърто инверсия в най-горния ред и вторият инверсия - дъното. Общ брой инверсии е 6, т.е. chotnaya смяна. Ето защо, тази работа е част от разширяването на детерминанта със знака "+".

Произведение a21 a13 A62 A34 A46 A15 член не е определящ, тъй като тя включва два елемента на първия ред.

1 0. транспонирана детерминанта не се променя (припомни, че детерминантата на матрицата и транспозиция означава промяна поставя редове и колони).

В действителност, ако (1) за член на определящ фактор, всички А1. А2. .... един различен и - броят на инверсиите в пермутацията (а1 а2 ... един ...). При транспониране ред номера и номера на колоната стават обратното. Следователно, всички фактори в продукта са различни колони и редове, т.е. тази дейност ще бъдат включени в транспонирана определящ фактор. Влезте тя ще се определя от броя на инверсиите в пермутацията. Но този номер е очевидно, равен. Така че, (1), за да бъде член на транспонирана определящ фактор. Тъй като ние сме поели, всеки член на определящ фактор, както и броя на членовете в квалификациите и транспониране на едни и същи, то трябва да бъде и тяхната равнопоставеност. От горните свойства, от това следва, че всичко ще се докаже за определящ фактор за линиите ще се отнася и за неговите колони.

2 0. Ако всички елементи на ред (или колона) на детерминанта е нула, детерминанта е нула.

Това следва от факта, че един елемент от споменатите редове (или колони) ще бъде включен във всеки член на детерминанта.

3 0. Ако всички елементи на всеки ред на детерминантата имат общ фактор, тогава той може да се приема като знак на определящ фактор.

В действителност, ако всички елементи на втория ред имат общ фактор л, а след това те могат да бъдат в писмена форма. Всеки член на детерминанта ще имат форма (-1) S. Следователно, всички от членовете може да бъде определящ фактор за засилване на л.

4 0. Ако определящ фактор за два реда са разменени, промените, определящи промените подписват.

Всъщност, ако (1) всеки член на детерминанта, новият детерминанта линия номера Р и Q са заменени, и номера на колоната остават същите. Следователно, новият детерминанта е същата работа ще бъдат включени в форма (-1) S. Тъй като номерата на редовете имаше транспониране, както и номерата на колоните не са се променили, к и и имат противоположен паритет. По този начин, всички членове на детерминанта на знака се променили, а оттам и на самата определящ фактор е променило знак.

5 0. Ако две линии са пропорционални на детерминанта, детерминантата е нула.

В действителност, да предположим, че всички елементи на к-тия ред са равни на съответните елементи на р-ти ред умножават по л, т.е. | A | = = = 0.

6 0. Ако всички елементи в детерминанта к-тия ред е сумата на две условия, детерминантата е равна на сумата от два детерминанти, в която всички линии, с изключение на втория, същите като в детерминанта. На мястото на елемента к-ти ред на един от тях са първите условията на елементи к-ти ред на детерминантата и елементи на място на втория ред на втората - втора техните условия.

Нека елементите на втория ред ще бъдат + TC1. + СК2. .... + Skn. След това всеки член на определящ фактор ще има формата

(-1) S = (-1) S + (-1) S.

След събиране на всички първите условия, ние получаваме детерминанта, която е различна от тази само на втория ред. На място линия на втория ще устои. .... , След събиране на всички вторите условия, ние получаваме определящ фактор също е различно от това на едва вторият низ. Що се отнася до втория ред ще бъде TC1. СК2. .... SKN.

7 на 0. Ако една линия, за да добавите друг определящ фактор за неговата линия, всички елементи, от които се умножават по един и същ номер, определящ фактор, не се променя.

Този имот е следствие от предишните две.

Ако в определящ фактор | A | на удар-ти ред и р-тата колона, остава детерминанта (п-1) -ти ред. Той призова непълнолетен, допълнителен елемент, и е предназначен за Мах. Броят (-1) к + р х MCR наречен алгебрични допълнение на елемента и означен акър.

8 0. Мала незадължително и кофактор не зависи от това какъв вид артикул се намира в к-ти ред и р-та колона на определящ фактор.

Доказателство. Ако a11 = 0, уравнение (8) е очевидна. Нека a11 ¹ 0. Тъй като всеки член на определящ фактор идва точно един елемент от първия ред, членовете на нула не е определящ фактор могат да бъдат само тези, които включват a11. Всички те разполагат с изглед. където GK и тече от 2 до п. в детерминанта D признак на този термин е определен паритет замествайки S = ​​Така че начин D е алгебрични сумата от гледна точка на формата с признаците определят чрез заместване с. Ако тази сума фактор от a11. ние виждаме, че D = a11 х S. където S е алгебрични сумата от гледна точка на формата. чийто знак се определя чрез заместване с. Тези термини, очевидно, (п - 1). Но това заместване е и заместването има същия паритет. Следователно, S = M11. Тъй А11 = (-1) + 1 х 1 M11 = M11. тогава D = A11 х a11.

Доказателство. В детерминанта D пермутиране на р-та линия последователно с всяка предишна. Така р-ия ред на първа линия се извършва. но незначително, допълнителен елемент за ковчега няма да се промени. Там ще бъде направено (р - 1) размяна на реда. Ако новият определящ фактор, определен D1. тогава D = (-1) р-1 х D. Детерминантата D1 за пермутиране тата колона последователно с всяка предишна колона, това се прави, когато (к - 1) пермутация на колони и Minor, комплементарна на дъгата. Това няма да се промени. завъртете определящ

ТЕОРЕМА 3. детерминанта е сума от продуктите от елементи на един ред от техните кофактори, т.е. D = AK1 AK2 + AK1 AK2 + х ... х akn + Akn (10).

Доказателство. Нека D =. Елементи на к-тия ред могат да бъдат написани като AL1 = СА1 + ... + 0 + 0 = 0 + AK2 AK2 + 0 + ... + 0, .... а = 0 + 0 + 0 + ... + а. Използване на имота 6 0. получи че D = = = AK1 AK2 + AK1 AK2 + ... + А (при използване лема 2).

Теорема 4. сума на продуктите на елементи на един strokiopredelitelya кофактори за съответните елементи на друг ред е нула.

Доказателство. Нека D =. Според предишната теорема,

D =. Ако вземем. Dbudet детерминанта на две равни редици, т.е. D е нула. Следователно, 0 =. ако р ¹ к.

Забележка. Теореми 3 и 4 ще бъде вярно, ако тяхната формулировка на думата "линия" се заменя с думата "колона".

Метод за изчисляване на определящ фактор за н-ти ред.

За да се изчисли детерминанта на п-тия ред е достатъчно във всеки ред (или колона), за да се получи най-много нули е възможно, като се използва свойството на 0. 7 и след това се използва теорема 3. В този случай, изчисляването на детерминанта на п-тия ред ще бъде намалено на изчисляване на фактор на (п - 1 ) -ти ред.

Пример. Изчислява определящи D = на.

Решение. Получават нули на втория ред. За тази втора колона 1) се умножава по (-2) и се прибавя към първата колона; 2) да се добави трета колона; 3) се умножава по (4) и да се добави четвъртата колона. Ние считаме, че D =. Ние разлагат получената детерминанта от елементите на втория ред. В тази работа всички елементи на редицата от техните кофактори, с изключение на член 1, са равни на нула. За да получите най-кофактор на елемента 1, е необходимо да изтриете тези редове и колони, където стоката е на стойност, т.е. втория ред и втората колона. Знакът на алгебрични допълнения определя (-1) 2 + 2 = (-1) 4 = +1. Така, D = +. Получихме детерминанта третия ред. Този фактор може да се изчисли с помощта на диагонали и триъгълници, но може да бъде намалено до детерминантата на втория ред. Размножава първата колона 1) до (4) и се прибавя към втората колона. 2) го умножете по 2 и добавете към третата колона. Получаваме, че

D =. Следователно, D = (-1) 2 + 1. Използване на собственост на 0. 7 до първия добави втората колона, ние получаваме D = - = -3 х (23 - 40) = 51.

Някои фактори (например, тези, в които има "големи" непълнолетни, състоящи се изцяло от нули) удобство за разширяване на няколко линии. Това позволява на Лаплас теорема. Нека детерминанта D М е избран Мала S-ти ред, който елементи стоят в редове с индекси k1, k2, ..., KS, и на колоните с номера Р1, Р2, ..., PS. Ние изтриете редове и колони с посочените номера. След това ще бъде детерминанта на (п - S) ти ред. Това се нарича малка M една комплементарна на малка М. If S = k1 + ... + KS + Р1 + ... + PS, след това

алгебрични допълнение към незначителна М е = (-1) и х М 1.

Теорема 5 (теорема на Лаплас). Нека определящ фактор за цел н разпределени на редовете (или колоните). Определящо е равна на сумата на продукти от всички малолетни и непълнолетни лица, стоящи върху избраните линии, от техните кофактори.

(Разлагане елементите и Th линия);

(Разпадане на елементи J та колона).

Ние се провери валидността на теоремата на Лаплас по примера на трета поръчка детерминанта на матрицата. Разширете го първо на елементите на първия ред

Което съвпада с определянето на детерминантата на третата матрица ред.

Теорема 6 (теорема на Креймър). Ако системата на линейни уравнения на броя на неизвестните е равен на броя на уравнения и системата за детерминанта D не е нула, тогава системата има решение и само един. Този разтвор се получава чрез използване на формули. където всеки DC получен от D чрез заместване на к тата колона на свободни членове на колона.

Доказателство. При един система и D ¹ 0. Увеличаването първото уравнение от A1K, а вторият - на A2k. ..., n-ти уравнение - от Ank и всички уравнения се натрупват. Снабдете се ... +. + + + ... =

Използване Теореми 3 и 4, ние получаваме X1 х 0 + ... + XK х D + ... + Xn = 0 х DC. където DF = (А-тата колона на фактор D заменя колона налични членове на тази група от уравнения). Следователно = за всички к = 1, 2, ..., п.

1. Най-определящ фактор на матрицата е равна на транспонирана определящ фактор за оригиналната матрица:

Това следва от определението за определящ фактор и изразява равенството на редове и колони на определящ фактор.

1. Размножаване на всички редове на елементи или определящ броя на колона # 955; еквивалентни umnozheeiyu определящ за този номер:

. Този имот позволява детерминанти, по-специално, да се направи общ фактор ред или колона на елементи за определящ фактор.

1. Ако определящ фактор за обмен за всеки два реда или две колони, детерминантата променя знака си.

. 4. Ако матрицата съдържа нулев ред (колона), след това детерминантата на матрицата е равен на нула :.

1. Ако два реда (колони) на матрицата са равни една на друга, детерминантата на матрицата е равен на нула:

.

1. Ако два реда (колони) на матрицата са пропорционални на друг, детерминантата на матрицата е равен на нула:

.

1. В детерминанта на матрицата равна на произведението на триъгълните елементи форма на главния диагонал:

.

1. Ако всички елементи на к-тия ред (колона) детерминанта са представени като суми ак J + BK й. определящ фактор може да се представи като сума от съответните детерминанти:

.

1. Детерминанта не се променя, ако някой от нейните елементи на ред (или колона) за добавяне на съответните елементи на друг ред (или съответната колона), умножена по същия номер:

1. Нека А и Б - квадратни матрици от един и същи ред. Тогава определящ фактор за продукт на матрици е продукт на детерминанти: