циклични групи

Група G е цикличен ако всички елементи са сили на един елемент. Този елемент г се нарича Генератор на циклична група G.

Примери на циклични групи:

1. Z групата на числа с допълнение.

2. Групата на всички сложни корени на степен на п единство с операцията умножение. Тъй като групата е цикличен г = елемент и генератор.

Ние виждаме, че цикличната група може да бъде или краен или безкраен.

3. Да (G, *) - всяка група, и всеки елемент. Комплектът е циклична група с генератор грама. Това се нарича цикличен подгрупата, генерирани от елемент г, и - да реда на елемент г. По теоремата за Lagrange елемент разделя реда на групата. показ

действа съгласно формулата: очевидно е

homomorphism и имиджа си съвпада с. Картиране е surjective ако и само ако групата G - цикличен и грам му генериране елемент. В този случай ние наричаме стандартната homomorphism за циклична група G в избрания генератор г.

Чрез прилагане в този случай на теоремата на homomorphism, имаме важно свойство на циклични групи: всеки циклична група е homomorphic образ на Z. груповата

Тъй като всяка циклична група е комутативен и ще използваме добавка нотация, така че N-та степен г NG ще изглеждат и се нарича N-кратно елемент г, и неутрален елемент на G наричаме нула и е 0.

Условията са следните нотация. Ако F произволна група, написана адитивно, след NF означава подгрупа чиито елементи са п-кратно елементите от група Е. Ако F е комутативен, след NF - подгрупа като F N (X-Y) = NX-NY.

На теоремата на подгрупи на Z

Ако H е подгрупа групата Z. Н = NZ. където п - неотрицателно цяло число, а оттам и Н - циклична група с генериране елемент п.

Ако Н е тривиална подгрупа, тогава теоремата е вярно, и п = 0. Нека H бъде нетривиален. В този случай, Н съдържа не-нулево число и срещу тях, а следователно и на положителни числа. Да означим най-малкият от тях с буквата н. След това. Ако - произволен брой, след това разделяне m до п с остатъка, ние получаваме: m = Кн + R, и. Но тогава R = m-Кн и следователно г = 0. Следователно, Н = NZ. е необходимо.

Ако к 0 - всяко цяло число, тогава карта определена от изоморфизъм и показва подгрупа на подгрупа, а оттам и на изоморфизъм.

Теорема за структурата на циклични групи

Всеки безкраен циклична група изоморфни Z. Всеки краен циклична група с ред п е изоморфни на Z / NZ.

Както е отбелязано по-горе, всяка циклична група G е изоморфни на Z / Н. Н, където подгрупа от Z. от предишния теоремата, Н = NZ. къде. Ако п = 0, G е изоморфни с Z и следователно безкраен. Ако п> 0, Z е разделен на cosets п: NZ, NZ + 1, NZ + 2.nZ + (п-1), и следователно коефициент Z / H е за п.

В бъдеще, групата Z / NZ ще бъде означен. По-специално ,.

Трябва да отбележим, че в нашата бройна система, - тривиално група.

Елементите на краен група по дефиниция са cosets:

Z. NZ 1. NZ + п-1>, които са определени и са наречени остатъци по модул п. и операцията в - събиране по модул п.

Теорема на подгрупи група (п> 0).

Ако Н подгрупа, след Н = където п е разделена на m изцяло. Процедурата е Н = г. и средства.

Помислете стандартната homomorphism. K = - подгрупа Z и следователно К = MZ известно цяло число m. От това следва, че Н =. В този случай и поради п = дм където г - цяло. От теоремата на homomorphism.

На доказани теореми че всяка подгрупа на циклична група е циклична. Виждаме също, че за всяко цяло число г, се раздели за п има ограничен циклична група, а освен това е точно една подгрупа за г, трябва да приключи цикличните групи обратен теорема теорема Лагранж.