Cat Арнолд - Саратов група теоретични динамика нелинейни

Показване на "котка Арнолд"

Той е известен в литературата като отражение на "Арнолд котката." (Основните стойности белезите на динамични променливи, свързани към следващата дискретни времето стъпка.) Фазовият пространство на системата обикновено се тълкуват като повърхността на тор, в който една променлива се координатната от паралел и друга по протежение на меридиана на тор, както е определено в интервала от 0 до 1. за по-удобно използване на графични илюстрации единица площад, като се има предвид, че разположена противоположно му страна са идентифицирани. произхода на името се дължи на факта, че г-н Арнолд, който предлага тази карта като пример за система с хаотични динамика на изпъналостта илюстрира действията си с помощта на изображението във формата на глава на котка (вж. фиг.).

Показване на Арнолд котка принадлежи към класа на консервативни системи: под влиянието на всяка област на дисплея (например главата котка) запазва района. Известно е, че тази карта показва, хаотична динамика в смисъл на аксиоматична теория на хиперболичен Аносов. Две Ляпунов показател за показване на Арнолд котка

Имайте предвид, че старши фигура е положителна. Някои допълнителна информация за показване Cat Арнолд и други карти в изпъналостта може да се намери в раздела на нашия уебсайт, посветен на квантовата хаос.

За по-нататъшно полезно да се отбележи, че за картографиране Арнолд котка може да се представи под формата на два пъти прилагане на по-прост картографиране

Що се отнася до физическото изпълнение на дисплея на котка Арнолд, помислете за четири осцилатор свързан, без автономен ван дер Pol

Тук х. у. Z и W обобщени координати осцилатори, А - амплитудна модулация параметър контрол, Т - модулация период, което, както ще поеме съдържа цяло число периоди на природни трептения 2 # 112; / # 119; 0. # 101; - параметър свързване.

Системата работи по следния начин. Нека първия и втория етап на генериране осцилатор осцилира с фази съответно Fx и ~ у.

докато втората двойка осцилатори е под прага на активния елемент. В прехода към етап на възбуждане на втората двойка, третата система осцилатор Z е изложена сигнал семена, съответстваща на XY на продукта и включващ резонансната осцилатор на този компонент в два пъти честотата:

По този начин, колебанията на третата фаза осцилатор получени Fz = Fx + ~ у. Четвърто осцилатор w развълнуван точно на честотата на сигнала х # 119; 0, така че Fw = Fx. Освен това, когато генериране стъпка на втората двойка осцилатори край, w е сигнал за семена ш осцилатор. входящо стъпка възбуждане, и Z сигнал чрез смесване с референтната честота на сигнала # 119; 0. предвижда семена осцилатор х. дадено от вторият във формула

В резултат на това ново възбуждане стъпка на първия и втория осцилатори фаза, получена съответно F'x = Fz = Fx + и F'y ~ у = Fw = Fx. Имайки предвид, че фазите са дефинирани до добавка 2 # 112; и въвеждане на стандартизирани променливи р = Fx / 2 # 112; и р = ~ г / 2 # 112. Ние пристигат в картографиране Р '= р. Q '= р + р (Mod 1), удвоени използването на който, както е споменато по-горе, еквивалентни на Arnold котка картографиране. Следващата фигура показва отношението на променливите от време х. у. Z и W са вече в процес на хаотично движение в съответствие с описания механизъм. Изображение на базата на резултатите от численото решаване на уравнения с # 119; 0 = 2 # 112. Т = 20, А = 2, # 101; = 0.4.

Хаос се проявява в случаен разходка върховете и спадовете на плик по отношение на запълването. За да се покаже съответствие с динамиката на фазата на картата на котка Арнолд, приложи следната процедура. Ние провеждаме числено решаване на уравнения, и в един момент, съответстващ на средната фаза на възбуждане на първия и втория осцилатор определи своите фази, използвайки връзките

Ако точката с координати (Fx. ~ Ш) попада в "котка главата", които я описва в диаграмата, и през следващите две графики точка (Fx ~ ш) през време 2T и 4T. След натрупване на достатъчно голям брой точки тъкачен стан "котка главата" и нейните образи след една и две повторения Арнолд дисплей. Получените изображения могат да бъдат сравнени с тези, получени директно от Арнолд повторения на картата. Съответствие се постига, ако се въвежда в двете уравнения добавка константи, които отговарят на определен постоянен допълнение към фаза, възникващи в предаването на смущения между осцилатори. С оглед на тези, избрани емпирично за даден постоянен режим на дисплея се модифицира по следния начин:

Сравнете двете долу серия от карти, за да се гарантира спазването забележителни динамика във фаза на предложената система и динамиката на модифициран Арнолд карта котка.

Последният фигура е графика на две по-големи Ляпунов експоненти за свързва системата на осцилатори nonautonomous Ван дер Pol от бавно модулация амплитуда А при определени други параметри, и получена за единица време период 2T.

Както може да се види, широка гама на параметъра двете Ляпунов показател остава приблизително постоянно в добро съответствие със стойностите, очаквани за показване на Арнолд котка.

Забележка. Ако подходът към динамиката на системата формално, по отношение на изграждането на стробоскопичен Поанкаре картата, тя намалява до повторения на 8-измерна дисплей. Всъщност, моментната състоянието на системата се определя от набор от осем променливи V = х. DX / DT. у. ди / DT. Z. DZ / DT. вата DW / DT>. Ако в някои миг т = NT набор състояние вектор Vn. решенията на уравненията изрично да се посочи, получени през периода 2T. Vn 1 = F (Vn). В 8-мерно пространство високоговорител се случва в близост до двуизмерни тор, които могат да определят координатите на две фаза подчинявайки Арнолд котка картографиране. За останалата част от координатите е силен натиск.

Саратов група
теоретичен нелинейни
високоговорители