асимтотична експанзия

Асимптотичната разширяване на F функция (х) - формална редица функции. така че сумата от всеки краен брой отношение на подхода на серия (доближава) F функция (X) в съседство на (евентуално безкрайност) неговата граница точка. Концепцията на асимптотичната разширяване на функцията и асимптотичната серия бяха въведени Anri Puankare при разрешаването на проблемите на небесната механика. Отделните случаи на асимтотичните разширения са открити и прилагани в XVIII век. Асимптотичната разширения и серия да играят важна роля в различни проблеми на математиката. механика и физика.

дефиниция

Нека функция # X03C6; п> задоволяване на имота: # X03C6; п + 1 (х) = О ( # X03C6; п (х)) # XA0; (х # X2192; L) # X2200; п # X2208; N (х) = О (\ varphi _ (х)) \ (х \ стрелкаНадясно L) \ четири \ forall п \ в \ mathbb> до ограничаване точка L домейн на функцията F (х). Последователността на функции # X03C6; п>. които отговарят на тези условия, се нарича асимптотичната последователност. номер: # X2211; п = 0 # X221E; на п # X03C6; п (х) ^ a_ \ varphi _ (х)>. за които са изпълнени следните условия: е (х) # X2212; # X2211; п = 0 N # X2212; 1 а п # X03C6; п (х) = О ( # X03C6; N (х)) # XA0; (х # X2192; L) ^ a_ \ varphi _ (х) = О (\ varphi _ (х)) \ (х \ стрелкаНадясно L)>

е (х) # X2212; # X2211; п = 0 N # X2212; 1 а п # X03C6; п (х) = О ( # X03C6; N # X2212; 1 (х)) # XA0; (х # X2192; L). ^ A_ \ varphi _ (х) = О (\ varphi _ (х)) \ (х \ стрелкаНадясно L).>

Това се нарича асимптотичната разширяване на F функция (х) или асимптотичната серия. Този факт се отразява:

За разлика от конвергентна серия и асимптотичната разширяване на е (х) функция може да се илюстрира както следва: за конвергентен поредица за всяка определена х доближава до стойност е (х) с N # X2192; # X221E; , докато в асимптотичната разширяване на определен брой N доближава до стойност е (х) в граничната х # X2192; L (L може да бъде безкраен).

Асимптотичната разширяване Ердели

Асимптотичната разширяване Ердели има по-обща дефиниция. ред # X2211; п = 0 # X221E; на п # X03C6; п (х) ^ a_ \ varphi _ (х)> се нарича асимптотичната разширение функция Ердели е (х). ако има асимптотичната последователност # X03C8; п>. че

е (х) # X2212; # X2211; п = 0 N на п # X03C6; п (х) = О ( # X03C8; N (х)) # XA0; (х # X2192; L). ^ A_ \ varphi _ (х) = О (\ ИОС _ (х)) \ (х \ стрелкаНадясно L).>

Този факт се записва в следния вид:

Такава обща разширение има много свойства, общи с обичайната асимтотична разширяването, но теорията на такова разширение е слабо разбран, често е от голяма полза за цифрови изчисления и рядко се използва.