Вторичният идентификатор 1

ОСНОВИ линейната алгебра

Методически указания за извършване на самостоятелна работа на студентите от всички дисциплини

Насоки са предназначени за самостоятелна работа на студентите линейни алгебрични от всички дисциплини. Основни понятия и теореми от теорията на вероятностите и детерминанти. Един метод за решаване на системи линейни уравнения от Гаус.

Библиография. 4 титли.

Вторичният идентификатор.

Концепцията за детерминанта се появи във връзка с проблема за намиране на формули за неизвестните стойности в система от линейни уравнения.

Помислете система от две линейни уравнения с две неизвестни:

Таблица от типа нарича система матрични коефициенти.

Ние решаваме системата на елиминиране. За да намерите непознатото. умножим първото уравнение от. а вторият - на и добавете двете уравнения. получаваме

По същия начин, умножаване на първото уравнение от. вторият - за и добавяне на двете уравнения, ние откриваме

Коефициентът на се нарича фактор на ред 2 и е означен

Детерминантите на третия ред.

Помислете за система от три линейни уравнения с три не-добре познат:

Матричната система е както следва :. Решаването на системата чрез премахване на неизвестни, получаваме:

където - някои цифри.

Определящо 3-ти ред се нарича коефициент от неизвестното и обозначени.

Изчислете определящ фактор за третия ред от правило Sarryusa:

Ценности - елементи определящ (матрица). Най-определящ фактор разграничи редове, колони главния диагонал от горния ляв ъгъл и страничен диагонал от горния десен ъгъл. Първият елемент на индекс показва номера на реда, а вторият - броя на колоната.

3.Elementarnye информация за пермутации.

Да разгледаме п числа (компоненти) 1, 2. стр. Те могат да бъдат подредени в различен ред.

Определение 3.1: На различни места на числата 1, 2, ..., п, се наричат ​​пермутации. PERMUT-Novki, в която цифрите са по ред на възрастта ТА, се нарича естествен.

Пример 3.1. За п = 3 възможно пермутация (1 2 3), (1 2 3) (2 1 3) (2 3I), (3 1 2), (3, 2 1). Техният брой е равен на 3! = 6.

Дефиниция 3.2: факториелите н е продукт на първите н естествени числа.

Се счита за 0! = 1.

Методът може да се използва, за да се докаже, че индукцията наш елементи могат да образуват н! Permutational тиган.

Дефиниция 3.3: Нека разстройство повикване (iliinversiey) в пермутацията на факта, че все по-голям брой по-малки щандове пред. Например, в пермутация (3 1 2 4) има две елементарно; броя 3 стои пред цифрите 1 и 2.

Ние дефинираме броя на инверсии в пермутации на три елемента-менти: пермутация (1 2 3) - 0 смущения, (I 3 февруари) - 1 (2 1 3) - 1 (2 3 1) - 2, (3 1 2 ) - 2, (3, 2 1) - 3.

Брой на инверсиите в пермутацията може да бъде дори и странно. На пермутации с четен брой на заболяване, наречено още, пермутации с нечетен брой смущения се наричат ​​нечетни. По този начин, пермутация (1 2 3) и (2 3 1), (3 1 2) дори и пермутация (1 3 2),
(2 1 3) (3 2 1) без дори.

Замяната на двата елемента в пермутация се нарича транспониране. Транспониране трансформира една пермутация на друг. Един пермутация на транспониране menyaetchetnost-Novki, т. Е. Дори пермутация става странно и странно-ценен дори.

За да смените броя на бунтове представляват. където -Един от числата 1, 2, ..., N; , ако.

Сега, имайте предвид, модели в изчисляването на детерминантата на третия ред.

1. Броят на условия е 6 = 3. който е равен на броя на пермутации на 3 елемента.

2. Всяка термин е продукт на 3 елементи. където първият пермутация на индекси на елементи - Природен пермутация (1,2,3) и втория индекси () - пермутация на числа 1,2,3; така че елементи от различни редове и колони.

3. Ако Първообразът е още, тогава срокът е взета от знака "+", а ако странно, след знака "-".

За да се получи втора определящ ред:

Детерминанти на п-тия ред.

Очевидно е, че система за п линейни уравнения в п неизвестни се получи размер матрица фактори:

Ние въвеждане на концепцията за определящ фактор за наш ред.

Определящ фактор, за п е число, равно на

-сумата от п. гледна точка;

-всеки термин е продукт п на елементите на матрицата, взети един от всеки ред и всяка колона;

-всеки термин е взето със знак "+", ако Първообразът на втория индекс е дори и със знак "-" ако Първообразът на втория нечетни индекси, при условие, че първите кодове образуват поредица от естествени числа.

тук å пое всички възможни пермутации. съставена от числата 1,2, ..., п.

5. основни свойства детерминанти.

Ние се определят основните свойства на детерминантите, които за простота ние ще се показват на детерминантата на ред 2.

1. При смяна редовете съответните колони (посочени транспониране-ТА) детерминанта остава непроменена. наистина:

Следователно ,. QED.

Забележка. Горният резултат ни дава да твърдя, че редовете и колоните на определящ фактор, наричани по-Шем редове равни.

2. Когато се движи двата реда знак промени определящи.

Наистина, променят линията на някои места и да се изчисли детерминантата

QED.

3. Ако определящи две паралелни редове са идентични, е равна на нула. Наистина, разменете две от една и съща линия. Тогава стойността на детерминанта не се променя, и знака от имот 2. промяна. Единственото число, което не се променя, когато знакът - нула.

4. Общият фактор на произволен брой на членовете може да се приема като знак на определящ фактор.

QED.

5. Ако всички елементи на всеки ред са сумите на същия брой термини, детерминантата е равна на сумата от детерминанти в който елементите на серията са индивидуалните условия.

QED.

6. детерминанта не се променя, ако елементите на всеки ред, за да добавят съответните елементи в успоредни редици, умножена по броя на не-е.

Умножаваме втория ред нататък, и го добавете към първия ред:

Наистина, с оглед на свойствата 3,4,5

QED.

6. малолетните и кофактори на елементите оп redelitelya.

Помислете за н-ти определящ фактор за поръчка:

Разпределяне в детерминанта и Th ред и к та колона. На пресечната точка на тези редове трябва елемент

Ако може да се изключи детерминанта -yustroku аз и й -ystolbets, ние получаваме детерминанта за п -1 (т. Е. като заповед-малък от една в сравнение с оригиналния детерминанта) нарича Мино зададена клетка детерминанта. Ние ще означава символ Mino-р елемент.

Определение 6.1. Кофактор на елемент-мент нарича второстепенен фактор. заснети с този знак. и означен със символа. По дефиниция, ние получаваме

Пример 6.1. Намери Мала и кофактор на детерминанта

1. Фактори от втори ред ............................................................. ... .. ...... 3

2. детектори третия ред ........................................................................ 3

3.Elementarnye информация за пермутации ............................................................. 5

4.Opredeliteli п-ти за .......................................................... ............... 6

5. основни свойства детерминанти ..................................................................... 7

6. непълнолетни и кофактори на елементите оп redelitelya ............................ 8

7. Разширяване на детерминанти за елементите на нейните редове ..................................... ...... 9

8. Разбиране матрици. Основни понятия ..................... .. ............... ..12

10. аритметични операции с матрици ................................. .. ... .. ............ 15

11. размножаването на матрица ................................................ свойства. ............. 16

12 и неговото обратно матрица изчисление с помощта на матрица съюз .......... ......... .18

13.Cistemy линейни уравнения ................................................................... ... 20

14.Matrichnaya система от уравнения запис .............................................. ...... .. ....... 21

15. Системи с квадратна матрица неособена матрица. Формула Cramer ...................... 22

16. Системата от уравнения в основната форма ..................... .. ......................... ......... 24

18.Nahozhdenie решения в основната форма .............................................. ... .. ... ..32

19. Изчисляването на обратната матрица на схемата Гаус ............................... ................ ... 0.33

20.Ponyatie п двумерен аритметика пространство и двумерен вектор ....................................................................................................... ... 35

21. Линейните трансформационни вектори. Собствени вектори и собствени стойности ......................................................................................................... .37

Lidiya Evseevna Морозова

Олга Valentinovna Soloveva

ОСНОВИ линейната алгебра

ОСНОВИ линейната алгебра

Методически указания за извършване на самостоятелна работа на студентите от всички дисциплини

Насоки са предназначени за самостоятелна работа на студентите линейни алгебрични от всички дисциплини. Основни понятия и теореми от теорията на вероятностите и детерминанти. Един метод за решаване на системи линейни уравнения от Гаус.

Библиография. 4 титли.

Вторичният идентификатор.

Концепцията за детерминанта се появи във връзка с проблема за намиране на формули за неизвестните стойности в система от линейни уравнения.

Помислете система от две линейни уравнения с две неизвестни:

Таблица от типа нарича система матрични коефициенти.

Ние решаваме системата на елиминиране. За да намерите непознатото. умножим първото уравнение от. а вторият - на и добавете двете уравнения. получаваме

По същия начин, умножаване на първото уравнение от. вторият - за и добавяне на двете уравнения, ние откриваме

Коефициентът на се нарича фактор на ред 2 и е означен