Векторите в равнината и в пространството

Vvedenie.docx

Векторите в равнината и в пространството.

Ключови определения и свойства.

Определение 1.1. Vektoromnazyvaetsyanapravlenny сегмент. Вектори се считат в равнина (двумерен) и в пространството (триизмерни). В този и в другия случай, векторът се определя от подредена двойка точки, първата от които началото на вектора (или точката на прилагане), а другият - в края на вектора; вектор е насочен от началото до края. Фигурата е показана със стрелка вектор (фиг. 1). За вектори, използвани символа А, В, X, и М P..; ако А и Б. Следователно, началните и крайните точки на вектора, този вектор се определени или.

Определяне 1.2.Dlina сегмент AB nazyvaetsyadlinoyvektora. Дължина vektoraaoboznachaetsya | а |.

Определение 1.3. Ако началото на вектора съвпада с края nazyvaetsyanulevym вектор (означен 0 или 0).

Дължината на вектора нула е нула. Посока на сегмента представени само нула вектори.

Определяне 1.4.Dva ненулев вектор nazyvayutsyakollinearnymi ако те лежат на една линия или на успоредни линии. Нулева вектор се счита за всеки вектор лежат на една права.

Колинеарни вектори могат да бъдат една и съща посока или противоположни посоки.

Определяне 1.5.Dva вектор, наречен равен ако onikollinearny, еднакво насочени и имат една и съща дължина.

Фиг. 2 показва равни вектори а и б. и Фиг. 3 --neravnye

Определяне 1.6.Nenulevye nazyvayutsyakomplanarnymi вектори, ако те са успоредни на една и съща равнина.

Всеки две вектори винаги копланарни и три вектори могат или не могат да бъдат в една равнина. Фиг. 4 показва триъгълна призма ABCA 1В 1С 1. вектори. и една равнина, и вектори. и

не лежат в една равнина.

Добавянето на вектори и умножение на вектор от редица наречен линейни операции върху вектори.

Припомнете си определението и основните свойства на тези операции.

Определяне на две ненулева vektoraaib (фиг. 5) са 1.7.Pust. От края на vektoraaotlozhim вектор равен vektorub. Vektorovaibnazyvaetsya вектор сума. вектор, простираща се от края произход вектор = AB = б.

Наименование: = а + б. Това правило се нарича вектор правило допълнение триъгълник.

От свойствата на успоредник трябва да бъде обикновено успоредник добавяне на вектори: сумата от две не-колинеарни

е вектор на вектори, посочена по диагонал на успоредник конструирана на тези вектори, произхождащи от техния общ произход (Фигура 6).

Ако трите векторите а, б и в които не лежат в една равнина, тяхната сума може да бъде намерена на правилото за кутия. вектор A + B + C диагонал на паралелепипеда е представена от векторите а, б и в. с общ произход (Фигура 7).

Определяне 1.8.Raznostyua-bdvuh vektorova и bnazyvaetsya количество vektoraai вектор срещу vektorub.

Имайте предвид, че ако вектори А и В. отлага от общ произход О, може да се конструира успоредник (Фигура 8), дължината на диагонала със същия началото О. равна на дължината на вектор A + B. и друга диагонал с дължина равна на дължината на вектор А-В.

Определяне 1.9.Proizvedeniem vektoraana от нула номер 0 ≠ х е вектор, чиято дължина е равна на | х | • | а | и който е codirectional vektoruapri х> 0, и която е насочена в обратна посока на х <0. Произведение вектора a на число x обозначается x• a = x a.

Пример 1.1. Известно е, че векторите А, В, С са взаимно колинеарни, но векторът е колинеарна с + б в. и вектор Б + В е колинеарна с + б. Намерете сумата от А + В + С.

Решение. Чрез хипотеза има Ф показния 0 и 0 ≠ μ, така че а + б = λ С и В + С = ц а. Изваждане първото уравнение от втората, ние се получи - в = Х в - ц а. следователно + ц а = C + Л С. До имота се намери 5 (1 + μ) а = (1 + λ) в. Ако 0 1 ≠ + μ 0 или 1 ≠ + λ, тогава вектори А и С са колинеарни, това противоречи на състоянието на проблема, обаче μ = 1 и λ = -1, което означава, А + В = -C или А + В + С = 0.

Произведение за нула вектор продукта на произволен брой и всеки вектор на нула по дефиниция се приема за вектора нула.

Линейни операции на вектори

Линейни операции на вектори имат следните свойства:

Тук, А, В, С - произволни вектори; 0 - вектора нула; х, у - произволни числа.

Теорема 1.1.Vektorbkollinearen различна от нула vektoruatogda и само ако съществува число х, chtob = ха.

разследване 1.1.Dlya лежат vektorovaibravenstvo на

Пример 1.2. Вектори а и б не лежат на една права. Намери, за всяко х

вектор с = (х-2) + б, и г = (2х + 1)-Ь са колинеарни.

Решение. С ненулев вектор, тъй като коефициентът на В е различен от

нула, следователно, съществува номер у, че г = YC, г. е.

Тъй като условията в уравнение вектор може да се прехвърля от един

част към друга, промяна на знака пред тези условия на

Напротив, ние ще имаме

Вектори а и б не лежат на една права, така че

Решаването на тази система, ние получаваме у = 1 и х = 1/3. Когато X = 1/3 вектори в и г

Лесно е да се види, че те са точно обратното: г = - в.

Нека вектори А и Б са не-лежат на една права, като ги постави на една-единствена точка:

А = А = В (фиг. 10). Всеки ненулев вектор С. копланарна

векторите а и б. по дефиниция, ОАВ е успоредна на равнината.

Ако се изгради вектор = с. на точка С лежи в равнината на свръхактивен пикочен мехур,

Следователно се каже, че всички три копланарни вектори могат да бъдат прехвърлени

Теорема 1.2. Ако вектори А и В са не-колинеарни, тогава вектор век

копланарна с вектори А и В, ако и само ако е налице

Нулевата вектор по дефиниция се счита за една равнина с всеки

Пример 1.3. От страна на триъгълника OBC точка BC е N

така че BN. BC = N (фиг. 11). Разлагане на вектора на вектори и.

Решение. Вектори и лежат на една права и затова лежат на една права

= X, и пространство х> 0. Тъй = N. тогава х = п и п =.

Тъй = - = и +. на

Имайте предвид, че когато п = 1/2 е средната точка N BC страна и ON - средната триъгълника. В този случай,

Теорема 1.3. Ако векторите а. б и cnekomplanarny. След това всеки вектор г

може да бъде еднозначно представени в форма D = + ХА Yb + щв.

Това изображение се нарича разширяване на вектор г за трите

не-копланарни векторите на. б и в. и вектор г се нарича линейна

комбинация на вектори а. б и в.

Пример 1.4. Dana триъгълна призма ABC (фиг. 12). разложен

вектор на вектори

Решение. правило Delta

Сгъване на лявата и дясната страна на тези векторни уравнения, получаваме

Тъй като и двете. и че следователно

Дефиниция 1.10. Ъгълът между векторите се нарича ненулева

ъгълът между векторите равни на данни и имат общ произход. ъгъл

между векторите, както и ъгълът между гредите може да се зададе от 0 ° до 180 °.

Информация за векторите в равнината и в пространството