Уравненията на първия ред

Уравнения с разделящи се променливи. Хомогенна уравнения Редактиране

Уравнения на форма F (х) г х = грам (у) г у наречени уравнението с отделни променливи. Това е специален случай на уравнения в общия диференциали: U (X у.) = ∫ х 0 XF (и) DS - ∫ у 0 YG (т) DT> ^ е (S) DS- \ Int \ граници _> ^ г (т ) DT>. U (х. Y) = C

Уравнения на форма F 1 (х) д 1 (у) г X = F 2 (х) г 2 (у) г у (х) g_ (у) DX = f_ (х) g_ (у) ди> - уравнение с делими променливи. Те намаляват до уравнения с отделни променливи е 1 (х) е 2 (х) DX = грам 1 (у) г 2 (у) ди (х)> (х) >> DX = (у)> (у)> > ди>. Възможни решения образуват х (у) = х 0>. ако е 2 (0) = 0 (0) = 0>, и у (х) = у 0>. ако грама 1 (0) = 0 (0) = 0>.

Уравнения на формата (1), където функциите М и N, така че: M (. Α х α у) = Α п М (х у.) М (х, у)>. N (α х. Α у) = α п N (х. Y) ∀ α> 0 М (х, у) \ forall \ а> 0> нарича хомогенна. п - степен на хомогенност.

Линейни уравнения Редактиране

Линейно диференциално. уравнения първия ред уравнение на форма, наречена г у г х + р (х) Y = F (х)> + р (х) = Y е (х)>. където р и е - непрекъсната функция, определена на интервал.

Разглеждане на хомогенна уравнение: г у г х + р (х) Y = 0> + р (х) Y = 0>.

Решение: у = С ⋅ д - ∫ х 0 х P (S) S г> ^ р (S) DS >>. с - произволна константа. Разтворът на нехомогенни уравнението се получава чрез промяна на постоянен: Y = С 0 ⋅ д - ∫ х 0 XP (S) г S + ∫ х 0 XE - ∫ ξ XP (S) г S F (ξ) г ξ \ cdot д ^> ^ р (S) DS> + \ Int \ граници _> ^ д ^^ р (S) DS> е (\ XI) г XI \>

Бернули и Riccati уравнение Редактиране

у = 0 - също разтвор.

Y '+ р (х) у + р (х) Y 2 = е (х) = F (х)> - Riccati уравнение.

Dy 1 DX ⏟ 0 + dzdx + р (х) Y 1 ⏟ 0 + р (х) Z + р (х) Z 2 + р (х) две Y 1 Z + р (х) Y 1 2 ⏟ 0 = F (х) ⏟ 0 >> _ +> + \ underbrace> _ + р (х) Z + р (х) z2 + р (х) 2y_z + \ underbrace ^> _ = \ underbrace _> Специализирани термини са нула, тъй като Y 1> - разтвор