теорема на Хюйгенс

Илюстрация теореми за района

Теорема Хюйгенс - Щайнер (. Теорема Хюйгенс теорема Щайнер): момент на инерция J на ​​тялото по отношение на произволна фиксирана ос е равна на сумата от момента на инерция на тялото JC> спрямо паралелно ос, минаваща през центъра на тежестта на тялото и на телесна маса m квадрата на разстоянието D между осите [1]:

J - желания инерционен момент около ос, успоредна, J C> - известен инерционен момент около една ос, минаваща през центъра на маса, m - маса на тялото, D - разстоянието между споменатите оси.

Теоремата носи името на швейцарския математик Yakoba Shteynera и холандския математик, физик и астроном Християна Gyuygensa.

По дефиниция, инерционният момент на J C> и J може да се запише

където R> - радиус вектора на точка в тялото координатна система с произхода разположен в центъра на маса, и R # X2032; '> - радиус вектор на точка в новата координатна система, която чрез новата ос минава.

радиус-вектора г # X2032; Аз _> може да се запише като сбор от два вектора:

където г> - радиус вектор разстояние между старата (минаваща през центъра на масата) и новите оси на въртене. Тогава изразът за инерционният момент става

J = # X2211; I = 1 п т и (R I) 2 + 2 # X2211; I = 1 п т и R и D + # X2211; I = 1 п т и (г) 2. ^ т _ (\ mathbf _) ^ + 2 \ сума _ ^ m_ \ mathbf _ \ mathbf + \ сума _ ^ _ м (\ mathbf) ^.>

J = # X2211; I = 1 п т и (R I) 2 + 2 г # X2211; I = 1 п т и R I + г 2 # X2211; I = 1 п т т. ^ М _ (\ mathbf _) ^ + 2 \ mathbf \ сума _ ^ m_ \ mathbf _ + г ^ \ сума _ ^ _ м.>

По дефиниция, центъра на тежестта си радиус вектор R в _> извършва

От координатната система с произхода, разположен в центъра на масата, радиусът вектора на центъра на масата е нула, а след това нула и сумата от # X2211; I = 1 п т и R и ^ m_ \ mathbf _>.

който включва желания формула:

където J C> - известен инерционен момент около една ос, минаваща през центъра на тежестта на тялото.

Ако тялото не се състои от материални точки и формира непрекъснато разпределени тегло, сумиране на всички формули, дадени по-горе се заменя с интеграцията. Линия на разсъждение в този случай остава същата.

Следствие. От тази формула е очевидно, че J> J C>. Следователно можем да твърдим, инерционен момент спрямо ос, минаваща през центъра на масата на тялото е най-малкият сред всички инерционни моменти около оси, които имат определена посока.