Стабилност на нелинейни системи за автоматично управление - studopediya
За да се изследва стабилността на нелинейна ACS прилага метода на Ляпунов функции, които също така дава възможност за изграждане на количествена оценка на динамиката на преходни. За да реши проблемите на абсолютната стабилност NUAU получено заявление метод честота широк VM Попова.
1.5.1. Начин на Ляпунов функции. Математически модел NUAU под формата на уравнения на смутен движение, представени под формата на пространството на състоянието:
където - вектора на състоянието - изход вектор - вектор контрол. - непрекъснатост в областта.
Ако приемем, че ние знаем, управлението. получаваме уравнението на смутен движение на нелинейни затворен цикъл на системата за автоматично управление
Необезпокоен движение на системата съответства на тривиално решение.
Ако необезпокоявани движението е асимптотично стабилна, а след това около произхода съществува атракция област траектория с имота, че всички траектории с първоначалните стойности на асимптотичния района на атракция са привлечени към необезпокоявани движение, т.е. в. Ако домейнът на привличане е достатъчно малък, има малка съпротива. Ако зоната за привличане има краен размер (постоянна стойност отговаря на предварително определени изисквания), а след това има голяма съпротива. Ако атракция на района е цялото пространство. има съпротивление като цяло. метод Ляпунов функция позволява не само да се установи наличието на някаква стабилност на невъзмутим движение, но също така и за изграждане на оценка площ атракция.
За да се изследва стабилността на нелинейни системи, най-разпространената следното изменение на теоремата на Ляпунов по асимтотична стабилност.
На теоремата на асимптотичната стабилност. Необезпокоявани система движение (1,29) е асимптотично стабилен, ако съществува функция Lyapunov. удовлетворява неравенството
производно от което, с оглед на смутен уравненията на движение
където - непрекъснати без намаляване на функции, като например кога. , ако.
Тук - производно на функцията Lyapunov в силата на уравненията на смутен движение (1.29).
Когато през изисквания теорема на Ляпунов функция определено положителна и безкрайно малка горна граница, и по-специално нейната производна е отрицателна.
Най-голям интерес в изследването на нелинейна SAU е случаят на експоненциален стабилността, когато разтворът на (1.29) удовлетворява следната оценка на
Теорема NNKrasovskii експоненциална системата за движение ustoychivosti.Nevozmuschennoe (1.29) е експоненциално стабилен в областта. ако съществува функция Ляпунов, отговарящо на следните оценки:
Присъствието на нелинейни свойства на експоненциален стабилността на системата осигурява експоненциална естеството на преходни, което е изключително важно за ACS.
Специално място в различни видове стабилност ACS се абсолютна стабилност.
Помислете за уравненията на смутен SAU движение, които са дадени в следната форма
къде. , , постоянен матрица, - постоянна колона - Онлайн постоянен - постоянна. Ценни непрекъсната функция удовлетворява
това означава, че принадлежи към сектор (фиг. 1.30).
Абсолютната стабилност - асимптотичната стабилност в големите на нула разтвор на система (1.33). , съдържащ тип нелинейност (1.34) (принадлежащ към сектор).
абсолютна стабилност на решение на проблема може да бъде произведен с помощта на функцията Ляпунов на специален тип "квадратното форма плюс неразделна" предлагат AI Лури и VK Postnikov
където - положително определена квадратна форма.
Тя изчислява производно на функцията Lyapunov
които могат да бъдат представени като
Ако квадратното форма (1.36) определено е отрицателно, невъзмутим движение. асимпотично стабилна.
Пример 1.3. Помислете за системата
абсолютна стабилност достатъчни условия
1.5.2. Абсолютната стабилност. честотен критерий Попов.
Нелинейна SAU, структурни
схема е показан на фигура 1.31, когато предавателната функция на линейната част
стационарна нелинейност отговаря на условията,
Случай 1. линейна част SAU стабилна, т.е. характеристика уравнение
Той има само корени с отрицателни реални части:
Критерий Popova.Zamknutaya система е абсолютно стабилна в класа на непрекъснати стационарни нелинейности, отговарящи на условията (1.37), ако по някаква реална и за всички. неравенството
Ние представляваме комплекс вектор под формата на
къде. , Тогава (1.39) е под формата
Практическата стойност на критерий Попов е, че тя е проста геометрична интерпретация. За това ние се въведе преобразуваната честотната характеристика. чието истинско част съвпада с реалната част. и имагинерна част се характеризира с коефициент "":
Тогава (1.40) е под формата
Имайте предвид някои специфични характеристики.
1º - дори и функция "" и кривата не е симетрична спрямо реалната ос при смяна на рамките. Когато кривите и имат обща точка на положителна реална ос.
2 ° Когато п-т 2, тогава, когато.
ако п-т = 1, тогава,
къде - на по-висока степен полиноми в трансферната функция.
3 ° Характеристики пресича реалната ос при равен брой точки, а за една и съща честота стойности. тази характеристика.
Чрез заместване на неравенство (1.42) от уравнението
Качваме се в координатите. уравнението на допирателната към характеристика. Line минава през точка на реалната ос и има ъглов коефициент. Curve се намира в дясно от тази линия.
Така, че е възможно да се формулира геометричната състояние абсолютна стабилност, както следва:
Състоянието на равновесие на затворена система с един стационарен нелинейност задоволяване (1.37) е абсолютно стабилна, ако самолетни трансформира честотни характеристики чрез точката, която може да се направи по права линия, така че характеристиките на цялата лежеше в дясно от тази линия (ris.1.32) с ъгъл на наклон.
В зоната, определена от избора на параметър. Това зависи от свойствата на нелинейни елемента:
- за непрекъснати оценяват стационарни характеристики;
- за непрекъснато нестационарни характеристики и двусмислени;
- за характеристиките на релейни на "идеален ключ" и "прекъсвач с мъртва зона".
Забележка. Т ак като преустроена честота характеристика трябва да се пресичат реалната ос на точното място. и оригиналната честота отговор трябва да преминат реалната ос отдясно на тази точка.
На фигура 1.33, илюстрира случай, когато състоянието е изпълнено за Popov (а), (б), състоянието може да бъде изпълнено за всяка стойност на (в).
Специален случай. За нелинейни SAU съдържащ един идеален реле (Фигура 1.34a), където
Условия абсолютна стабилност при стабилна линейна част е под формата на неравенство
и кога. т.е. характеристика трябва да се намира на правилното правата линия, която преминава през произхода с положителен наклон.
Случай 2. линейната част на ACS може да бъде неутрален или нестабилна, т.е. характеристика уравнение (1.38) може да има корени с нула или реални положителни части.
Ние изпълнява еквивалентна превръщането на оригиналния нелинейна Со (1.31), в резултат на което се трансформира получава верига (фигура 1.35). Схеми 1.31 1.35 еквивалентни на изхода. тъй като на входния сигнал е същия сигнал
Е избран минимална стойност. където преобразуваната линейната част е стабилен, т.е. за
всички корените на характеристика уравнение
имат отрицателни реални части.
За преобразуваната нелинеен елемент
Изискване, че в съответствие с критерия за Попов нелинейност удовлетворява неравенството
След това, нелинейност трябва да се отнася към класа на нелинейности, лежащи в сектора:
Прилагането на схемата на Фигура 1.35 на трансформирания критерий Popov получи неравенство
където в сравнение с (1.39) се заменя със функция.
Специален случай. Да разгледаме случая, където линейната част е астатична ACS нелинейна първи ред, т.е. уравнение (1.38) има един истински нула корен и се оставят останалите корени. Това всички корените на характеристика уравнение (1.46) бяха отрицателни реални части, достатъчно да се вземе стойността произволно малък. В този случай, нелинейността, трябва да отговарят на условията,
при което - малка положителна величина.
По този начин, на практика, можете да използвате състояние Попова и в този случай, само когато нелинейност. които не могат да се докоснат до х-ос.
Пример 1.4. Нека линейната част на ACS има функция за трансфер
Амплитуда и фаза характеристики, показани на ris.1.36.
преобразуваната честота отговор
Характеристики, различни от промяна в скалата за ордината във времето. Тъй като. линията може да се направи за всяка такава промяна винаги през началото, така че тази характеристика лежеше на дясната й. Това означава, че една затворена система нелинейни е абсолютно стабилна по някаква нелинейност. за които коефициентът. т.е. намира в квадранта 1 и 3.
Пример 1.5. Линейната част на ACS има функция за трансфер
Използването на критерия на Попов, намерете големината на сектора, която е непрекъсната равновесно състояние нелинейност трябва да принадлежат, в които затворена автоматична система за контрол е абсолютно стабилна.
В този случай линейната част на ACS е неутрална, уравнението има една нула и две корен е отрицателен.
Построен трансформира функция трансфер
която може да бъде произволно малък;
Построява се трансформира характеристика (ris.1.37), която пресича с реалната ос в една точка.
От това следва, че за абсолютната стабилността на затворен ACS нелинейност трябва да отговаря на неравенство
Вижте литература :. [2, стр. 43-71; 3, стр. 512-537; 10, стр. 34-40].
въпроси на теста:
1. Какво е съпротивата "в малките", "В голямата", "като цяло"?
2. Пренесете теоремата на асимптотичната стабилност.
3. Дайте на теоремата на експоненциална устойчивост.
4. Определяне на абсолютната стабилност.
5. дава честота абсолютен критерий стабилност Попов. Дайте геометрична интерпретация.
6. Какви условия трябва да отговаря на нелинейност в случаите, когато линейната част на системата е нестабилна или неутрален?
7. Как може да се сравни критерия на Найкуист с критерия за Попов?