Съществуването на всеки вектор пространство

Определение. Пространството на вектор, наречен краен ако има краен система генерира вектори.

Забележка. Ние ще учат само краен двумерен вектор пространство. Въпреки факта, че ние вече знаем доста много за основа на краен двумерен вектор пространство, ние нямаме увереност, че на базата на такова пространство съществува изобщо. Всички по-рано получените свойства са получени при допускане, че е налице основание. На следващата теорема покрива този въпрос.

Теорема. (Наличие на линейно пространство основа ограничен.)

Всеки краен двумерен вектор пространство има основа.

Доказателство. Чрез хипотеза генериране на ограничен система крайни вектори на вектор пространство V :.

Можем да предположим, че всички вектори на тази система е различна от нула, защото в противен случай, ние можем да ги премахнете от системата и на останалата част от системата на вектори е ограничен система за генериране.

Трябва да отбележим, веднага същите, както ако са възникнали в комплекта е празен, т.е. не съдържа вектор, след това по дефиниция се смята, че пространството вектор е нула, т.е. , В този случай, по дефиниция се счита, че въз основа на базата на космическата нула вектор е празен и неговото измерение е по дефиниция се счита за нула.

Да предположим, че допълнително ненулева вектор пространство и системата на ненулеви вектори е крайната система за генериране.

Ако тази система е линейно независими, а след това сме ние, защото линейно независима система за генериране и на вектори линейно пространство е неговата основа.

Ако тази система на вектори е линейно зависим, тогава един от векторите на тази система е линейно изразена чрез отляво и могат да бъдат отстранени от системата, а останалите векторна система, ще продължи да генерира.

Ние преномериране на останалите вектори на системата :. Други аргументи се повтарят.

Ако тази система е линейно независими, то е основа. Ако не, тогава отново има вектор в тази система, която може да бъде отстранена, а останалите системата генерира.

Повтарянето на този процес, ние не може да се остави с празен вектор на системата, тъй като най-малкото, стигаме до системата за генериране на ненулев вектор, който е линейно независими и следователно основа. Ето защо, на определен етап стигаме до линейно независими вектори и система за генериране, т.е. към основата, QED

Лема. (O системи вектори в п двумерен вектор пространство.)

1. Всяка система на вектори е линейно зависим.

2. Всяко линейно независима система на вектори е неговата основа.

Доказателство. 1). По предположение, броят на вектори в основата на едни и същи и е в основата на системата за производство, така че броят на вектори в който и да е линейно независима система не може да надвишава, т.е. Всяка система, съдържаща вектора е линейно зависим.

2). Както следва от по-горе резултат, всяка система за линейно независими вектори на вектор пространство е увеличен, и следователно основа.

Теорема (допълнение основа О е). Всяка система на линейно независими вектори на вектор пространство може да се добави основа на това място.

Доказателство. Нека бъде линейно пространство на измерение п и някои от неговите линейно независима система на вектори. След това.

Ако, от предишната лема, тази система е основа, и нищо не доказва.

Тогава, ако системата не е максимално линейно независима система (в противен случай това би било основание, което е невъзможно, тъй като). Следователно, налице е вектор, така че системата - са линейно независими.

Ако сега, системата е в основата.

Ако, обаче, всичко се повтаря. попълване процес система не може да продължи неопределено време, защото на всяка стъпка, ние получаваме система за линейно независими вектори на пространството, както и от предишната лема броя на вектори в една такава система не може да надхвърля размера на пространството. Ето защо, на определен етап ще дойде на базата на това място.

Пример. Нека K - всяка област - аритметични векторни пространство височина колони. След това.

За да докаже това, помислете за системата на колони от това пространство:

Ние вече доказа, че тази система е линейно независими. Нека да докажем, че това е система за генериране на космически колони.

Да - произволна колона. След това е очевидно, равенство. Т.е. System - генериране и по този начин е основа. Следователно, QED

аритметика вектор пространство височина колона п се нарича каноническа, или естественото.