Сравнението на идеала

Теорема 1. Свойствата на сравнението на идеала.

1 °. Сравнение на идеален е връзка равностойност.

2 °. Сравнението на идеала е в съответствие с допълнение.

3 °. за идеалното сравнението е в съответствие с умножение.

4 °. Класовете по отношение на равностойността, чрез сравняване на съотношението на идеалния тип имат Ka = I + A.

Теорема 2. набор дефиниция A / I класове еквивалентност е относително пръстенни операции Å и ÄКои са определени, както следва: (I + а)Å(I + б) = I + (А + В), (I + а)Ä(I + б) = I + (а х б).

Този пръстен се нарича коефициент пръстен А от идеален I. á A / I; Å, Äñ,

Теорема 3. Структурата на пръстени клас остатък.

2 °. Ако m - брой на композитен, след Zm съдържа нула делители.

3 °. Всеки ненулев елемент Zm пръстен е или нула делител или разделител единица (обратим елемент).

Homomorphisms и епиморфизъм пръстени. Теорема на епиморфизъм

Определяне примери, протозои (група) homomorphism свойства на пръстените. ядрото. Кер е.

ТЕОРЕМА 1. ядрото на една идеална пръстен.

Теорема 2. картата дефиниция-J: А ® A / I от правило J (а) = I + а е върху пръстените. Това се нарича естествен епиморфизъм epimorphic пръстен А до пръстен коефициент A / I.

Теорема 5. Теорема на епиморфизъм.

Ако F. А ® А1 - epimomorfizm пръстени, I = Кер е. J: А ® A / I - естествената епиморфизъм, тогава има освен това само един изоморфизъм Q: А / I ® А1. като F имота = Q ° й.

ГЛАВА 17. Елементи на теорията на делимост в неразделна пръстен

Делимост в неразделна връзка с пръстените.

Стандартното оборудване на отношенията на делимост.

Обратимите елементи (делители единици) пръстен.

Теорема 1. Комплектът G обратимо елементи на комутативен група по отношение на операциите умножение.

Прости и съставни елементи на пръстена.

Теорема 2. Свойствата на отношенията на сдружаване.

1 °. Критерият на сдружаване: а

2 °. Връзка на сдружаване е връзка равностойност.

3 °. Класовете на еквивалентност с уважение асоциативност имат формата Ka = AG.

а Ùр - прост елемент Þ а - обикновен елемент.

б Ùа - компонент Þ б - съставен елемент.

Теорема 3. Комуникация с основните идеи на теорията делимост.

Делимост идеали. ГРУ и идеали на НОК.

Теорема 4. Съществуването на Нод и идеалите на НОК.

1 °. Всеки две идеални пръстени имат ГРУ. Тях е сумата на тези идеали.

2 °. Всеки две идеални пръстени имат NOC. Ги е пресечната точка на тези идеи.

Председател на множители в пръстени

Председател на множители: по същество едни и същи; значително по-различно. Пръстени уникален факторизиране (= факторен пръстен). Пръстени с смесен гниене. Пръстени без разлагане. CDF. Knor. CBD.

1. Z - пръстен уникален факторизиране (брой MMI модул).

2. Z [] - Пръстен разширяване с неясна.

Decomposability оказа MMI-голямата норма неяснота следва от факта, че 4 = 2 х 2 = (1+) х (1), при което броят 2, 1+ и 1 - прости не са асоциирани компоненти.

3. ÈZ []: к ÎN> - пръстен без разлагане: елемента 2 няма край факторизиране.

Водещ идеален пръстен

1. Z е с основен идеален домейн.

2. R [х. Y] не е основен идеално домейн: (х) + (у) не е основна идеален.

ТЕОРЕМА 1. Главният идеален пръстен

1 °. Всякакви два елемента имат ГРУ и имат NOC.

2 °. Всеки две свързани GCD и LCM елементи.

3 °. Ако г - NOD елементи а и б. След това съществуват ф. V, така че г равенство = фа + Vb.

Сравнително премиер елементи.

Теорема 2. Имотите са сравнително премиер елементи.

1 °. Критерият на взаимно лекота. Елементи пръстените А и В на основните идеали са сравнително премиер, ако и само ако съществуват ф. с. така че равенство 1 = фа + VB.

2 °. Ако елементи А и С на. и В и С - са относително прости, тогава елементите на х и Ь - като взаимно разцвета.

3 °. Ако × а и б в и - елементи взаимно-председател, а след новата ера.

Обобщение свойства 1 ° -4 ° до всеки краен брой елементи.

Контрапример до свойствата на 3 ° и 4 ° не взаимно прости елементи.

Теорема 3. Свойствата на прости елементи.

1 °. татко Ùр - прост елемент Þ а ÎG Úа

2 °. Ако P1 и P2 - прости елементи, и те не са свързани, никой от тях не се дели на друго.

3 °. ( "А) (" р) (р - прост елемент ® ап Úи р - взаимно прости елементи).

Теорема 4. Пръстенът основните идеи елементи от последователност А1. А2. с. в което всеки елемент е делител на предходната и не са свързани с него, съдържа определен брой елементи.

Теорема 5. Всеки главен идеал пръстен е факторен пръстен.

Лема. В пръстена на основните идеали всеки необратим елемент, различни от нула, има прост делител.

Определяне евклидовата пръстен. Норма.

Примери Euclidean пръстени.

ТЕОРЕМА 1. Всяко евклидовата пръстен е с основен идеален домейн.

Теорема 2. В последния ненулев Остатъкът Euclidean пръстен генерализирана Euclidean алгоритъм два елемента е GCD на тези елементи.