Science Network иРазмер курс от лекции линейна алгебра

Да - линейно пространство. В същото време той често се счита за по-тясно свързан пространство, така наречената двойна пространство. С цел да се формулира дефиницията на двоен пространство, обратно към идеята за линейна функция, ние въведохме в Sec. 1 §4.

функция Linear ние наричаме функция, който отговаря на условията:

Да - за основа на наш тримерно пространство. ако

-- вектор от, линейна функция, може да се запише като (вж. § 4)

където коефициентите определящи линейна функция изчислява чрез формулите

Както е видно от формула (1) в даден основа всеки брой съответства на линейна функция, след това само един.

Да - линейни функции. Тяхната сума е функция, която определя всеки вектор номер. Продуктът от линейна функция на броя е функция, която определя всеки вектор номер.

Очевидно е, че сумата от линейни функции и линейни функции работят по номера отново е линейна функция. В този случай, ако линейната функция се определя от номера и - цифри, след това се посочи броят на ,,, и - номера.

По този начин, множество от предварително определени форми линейна функция в линеен пространство.

Определение 23.1 Да тримерно пространство. Space конюгат да, ние наричаме линеен пространство, векторите, които са линейни функции, определени инча Количеството определя като сума от линейни функции и вектор продукта от броя - продуктът от броя на линейна функция.

Тъй като за дадена база в пространството на всяка линейна функция е еднозначно определена от номера на системата, сумата от функции съответства на сумата от номерата, функциите на продукта чрез номера на продукта, то е ясно, че изоморфни, където векторът се определя като събиране на номера.

Следователно, двойна пространство на п-тримерно пространство е също размери.

Ако пространството и като се има предвид в същото време, векторите се наричат ​​contravariant. и векторите от covariant. Впоследствие символи ще означават елементи, т.е. contravariant вектори и - елементи, т.е. covariant вектори.

В бъдеще ние ще бъдем в стойността на линейната функция в точка означаваме. По този начин, всяка двойка и свързаната с броя, където

Първият и вторият от тези отношения - това е записано в новата нотация равенство

Това е дефиницията на функция линейна, а трето и четвърто - определяне на продукта на линейна функция от броя и размера на линейни функции. Стойност 1 -4 приличат на външен вид аксиоми 2 и 3, скаларен продукт (§2). Необходимо е да се подчертае, че докато скаларен продукт е число, по чифт вектори на същата (Euclidean) пространство, има номер, посочен двойка вектори, един от които принадлежи на пространство афинно, и от друга - на място афинно.

Вектори и ние наричаме ортогонална. ако

По този начин, въпреки че в афинно пространство (за разлика от Euclidean) няма концепция на ортогоналността на два вектора, може да се говори за ортогонални вектори на вектори от.

Определение 23.2 Да - основа на, и - в база. Наричаме ги biorthogonal бази (взаимно). ако