Пряко сравнение тест серия - studopediya

Необходими знак на сближаване не е най-общо казано, за да се прецени дали серията клони или не. Сближаване и разминаване на поредицата в много случаи може да се настрои с помощта на така наречените адекватни знаци.

Помислете за някои от тях за znakopolozhitelnyh серия т. Е. Series с не-отрицателни термини (znakootritsatelny редица пропуски в znakopolozhitelny като се умножи по (-1), което, както знаем, не се отразява на конвергенцията на серията).

Сближаване или разминаване на поредица често znakopolozhitelnogo създадена като я сравнява с другите ( "референтен") в близост, който е известен да се сближат, или не. В основата на подобно сравнение на базата на следната теорема.

Теорема 1. две znakopolozhitelnyh серия Да предположим, че

Ако за всички п неравенството

след сближаването на серия (2), че поредицата (1), отклонението на серия (1), че отклонението на серия (2).

Означаваме n- та частични суми на поредицата (1) и (2) съответно и чрез. От (3) следва, че

Нека серия (2) клони и неговата сума е равна на S2. След това. множество елементи (2) са положителни, обаче, и следователно, предмет на неравенство (4). Така, последователността на монотонно увеличаване и ограничена от горе S2. Въз основа на съществуването на граничната последователност има ограничение, т. Е. серия (1) клони.

Да предположим сега, че серията (1) се отклонява. Тъй като членовете на серията са неотрицателно, в този случай имаме. След това, като се има предвид неравенството (4), ние получаваме т. Е. серия (2) се отклонява.

Забележка. Теорема 1 държи в случая, когато неравенството (3) не е изпълнено за всички членове на серията (1) и (2), и като се започне от определен брой N. Това следва от имот 3 числова поредица.

Теорема 2 (ограничаване сравнение функция). Нека две znakopolozhitelnyh серия са (1) и (2). Ако има ограничен различни от 0, границата на редовете (1) и (2) се събират или се различават едновременно.

Чрез секвениране ограничение за всички, п, с изключение може би на определен брой от тях, за всеки неравенство или

Ако серията (1) клони, след това от ляво на (5) и теорема 1, че поредицата клони. Но след това, в зависимост от имуществото на числения серия 1, серия (2) се отклонява.

Ако серията (1) се отклонява отдясно на неравенството (5) на теорема 1, свойствата на 1 предполага, че поредицата (2) се отклонява.

По същия начин, ако поредицата (2) се събират (отклонява), конвергентната (различаващи) към серия (1).

ПРИМЕР 1 Тест за гама конвергенция

Решение: Нека сравним този номер с редица геометрична прогресия, която клони. Ето защо ние имаме, серията клони.

Пример 2. Тест за конвергенция

Решение: Тук. Вземете серия с общ термин, който се отклонява (хармоничен серия). Ние имаме. Ето защо, тази серия се отклонява.

Пример 3: Да се ​​проучи сближаването на

Решение: Нанесете крайната знака на сравнението. Тъй като,

От Теорема 2 оригиналната серия отклонява като сравним с хармоничните серии.