Примери за използването на намотка формула
Пример 30. Да независими случайни величини и имат стандартното нормално разпределение. Ние твърдим, че сумата им има нормално разпределение с параметри и.
Съгласно формулата за навиване. сума, равна на плътността
Последният интеграл е равен на една, тъй като подинтегрален е плътността на нормалното разпределение с параметри и.
Така че, ние открихме, че размерът на плътност е плътността на нормалното разпределение с параметри 0 и 2.
Ако сумата от два независими случайни величини от същото разпределение (вероятно с различни параметри) има същото разпределение, тя казва, че това разпределение е стабилен по отношение на сумирането.
В следните твърдения, да докаже, че се предлага на читателя, изброява почти всички стабилни дистрибуции.
Лема 3 Нека случайни променливи и независими. След това.
Лема 4. Нека случайни променливи и независими. След това.
Лема 5. Нека случайни променливи и независими. След това.
Лема 6. Нека случайни променливи и независими. След това.
Всички тези твърдения, ще се окажат по-късно, с помощта на устройството на характерни функции, но с малко търпение, можете да се опитате да ги докаже директно, както в пример 30.
Експоненциална разпределение не е стабилен при сумирането, но това е специален случай на разпределението на гама. която вече е стабилен по отношение на сумирането.
Лема 7. Нека случайни променливи са независими експоненциално разпределение. След това.
Доказателство. Ние доказваме твърдението чрез индукция. Когато това е вярно в силата на равенството. Да предположим, че лемата е валидна за. Ние доказваме, че това се отнася и за. Чрез хипотезата за индукция има разпределение, т.е. разпределението на плътността на величина
След това, от сумата на намотка, е равна на плътността
Тъй като за, т.е. когато, плътността на интеграла е различна от нула, само ако променливата на интеграция варира. Когато подинтегрален, а заедно с него и плътността е нула. Когато имаме:
Ето защо, както се изисква.
Пример 31. разпределение Uniform не е стабилен по отношение на сумиране. Намираме функция и разпределение сума плътност на две независими случайни променливи със същото единни на [0, 1] разпределение, но не с формула извивка на, и използване на геометрична вероятността.
нека # 151; са независими случайни величини. Няколко може да се разглежда като координатна точка, хвърлени на случаен принцип в единица площад. След това районът е площта в рамките на площада под прякото. Тази област # 151; сенчести триъгълник с и петоъгълник с. И накрая, ние се получи:
количеството на гъстотата на разпределение е
това # 151; плътността на така наречените "триъгълна" разпределение Simpson. Виждаме, че има равномерно разпределение не е стабилна по отношение на сумирането.