Примери за използването на намотка формула

Пример 30. Да независими случайни величини и имат стандартното нормално разпределение. Ние твърдим, че сумата им има нормално разпределение с параметри и.

Съгласно формулата за навиване. сума, равна на плътността

Последният интеграл е равен на една, тъй като подинтегрален е плътността на нормалното разпределение с параметри и.

Така че, ние открихме, че размерът на плътност е плътността на нормалното разпределение с параметри 0 и 2.

Ако сумата от два независими случайни величини от същото разпределение (вероятно с различни параметри) има същото разпределение, тя казва, че това разпределение е стабилен по отношение на сумирането.

В следните твърдения, да докаже, че се предлага на читателя, изброява почти всички стабилни дистрибуции.

Лема 3 Нека случайни променливи и независими. След това.

Лема 4. Нека случайни променливи и независими. След това.

Лема 5. Нека случайни променливи и независими. След това.

Лема 6. Нека случайни променливи и независими. След това.

Всички тези твърдения, ще се окажат по-късно, с помощта на устройството на характерни функции, но с малко търпение, можете да се опитате да ги докаже директно, както в пример 30.

Експоненциална разпределение не е стабилен при сумирането, но това е специален случай на разпределението на гама. която вече е стабилен по отношение на сумирането.

Лема 7. Нека случайни променливи са независими експоненциално разпределение. След това.

Доказателство. Ние доказваме твърдението чрез индукция. Когато това е вярно в силата на равенството. Да предположим, че лемата е валидна за. Ние доказваме, че това се отнася и за. Чрез хипотезата за индукция има разпределение, т.е. разпределението на плътността на величина

След това, от сумата на намотка, е равна на плътността

Тъй като за, т.е. когато, плътността на интеграла е различна от нула, само ако променливата на интеграция варира. Когато подинтегрален, а заедно с него и плътността е нула. Когато имаме:

Ето защо, както се изисква.

Пример 31. разпределение Uniform не е стабилен по отношение на сумиране. Намираме функция и разпределение сума плътност на две независими случайни променливи със същото единни на [0, 1] разпределение, но не с формула извивка на, и използване на геометрична вероятността.

нека # 151; са независими случайни величини. Няколко може да се разглежда като координатна точка, хвърлени на случаен принцип в единица площад. След това районът е площта в рамките на площада под прякото. Тази област # 151; сенчести триъгълник с и петоъгълник с. И накрая, ние се получи:

количеството на гъстотата на разпределение е

това # 151; плътността на така наречените "триъгълна" разпределение Simpson. Виждаме, че има равномерно разпределение не е стабилна по отношение на сумирането.