Приложения на определен интеграл
13. Приложения на определен интеграл.
# 9; В този раздел, ние ще обсъдим някои приложения на определен интеграл, предимно геометрична - за изчисляване на площи и обеми. Тук ние даваме на уравнението и образа на редица криви това, с което ние ще работим.
1. кръг, преминаваща през началото на координатната система. Уравнението на окръжност с център С (а, Ь) с радиус R. (X - а) 2 + (у - б) 2 = R 2. Ако обиколката преминава през началото, след това 2 + б 2 = R 2 и уравнението под формата х 2 + Y 2 = 2AX + 2by. В полярни координати, това уравнение изглежда така :. Дясната Фигурата показва три такива среди (а = 0, В = 3/2), (а = 1, б = 0), (а = -1, б = -3/2).
2. спирала. Архимед спирала. Фигурата показва спирала и.
На логаритмична спирала. Фигурата показва спирала и.
Хиперболична спирала. Фигурата показва спирала и.
Стрелките на всички спирали показват правилната посока на увеличаване на параметъра.
3. кардиоидния. Три от тези криви са показани в дясно. Декартово уравнение кардиоидния:
.
Кардиоидна параметрични уравнения:
Кардиоидния - специален случай на охлюв на Паскал.
4. Бернули лемниската. Радикалната израз е неотрицателна и кога. Декартови уравнение на лемниската (2 х + у 2) 2 = 2а 2 (х 2 - Y 2).
Лемниската - мястото на точки М (х у.), Така че. където F1 (-а 0.) и F2 (0. а) - лемниската огнища.
Цифрата показва лемниската.
5.Chetyrohlepestkovaya роза. Декартови уравнение (2 х + у 2) = 4а 2 3 2 х у 2. Всяка точка М (х у.) От тази крива - повърхност нормална OM на. падна от произхода на отсечката AB на постоянна дължина 2а. преместване, така че краищата й са на координатните оси.
6. обхождане (еволвентен) периферно Всяка точка М (х у.) От тази крива - края на резбата, който е развит от обиколката на 2 х + у = 2 на 2. Останалите опъната. В началния момент Т = 0 края на резбата е в точка А (а, 0).
7. Тази крива циклоида - траектория на точка М (х у.) Радиус на окръжност. който се търкаля без хлъзгане по оста Ox. В началния момент Т = 0 точка е О (0, 0).
8. astroid декартови уравнение. Всяка точка М (х у.) От тази крива - основата на перпендикулярна рМ. падна от произхода на сегмента AB на постоянна дължина на. преместване, така че краищата й са на координатните оси. Точка P - връх на правоъгълника изграден на отсечката AB като диагонал. Фигурата показва astroid с = 2.
# 9; 13.2.1. Декартови координати. Параграф 11.1.4. ние формулирани геометричното значение на определен интеграл: ако е (х)> 0 на интервала [а, Ь]. областта е извита трапец ABCD. Limited долния сегмент [а, Ь]. ляво и дясно - дясното х = а и х = б. най - функция у = F (х). Следствие: ако фигура ограничена над крива у = F (х). под - кривата у = г (х). ляво и дясно - права линия сегменти х = а и х = б. че неговата площ е равна.
Пример: Виж областта на региона D. ограничена от кривите Y = 2 х + х + 11, у = 2 х - 9, при условие, че (по-нататък ще напиши това :).
При решаването на тези проблеми е от съществено значение, за да обрисуват изучаване на геометрични обекти. За определяне на долната граница на интеграция е необходимо да се намери точката на пресичане на кривите; уравнение х 2 + х + 11 = 2 х - 9 има две корени: х = 1 и х = 2. Подходящ корен - х = 1. Област е ограничена от горе парабола, долната - с права, така - линия х = 1. лявата точка - х = 1. следователно # 9; Ако в района има сложна структура, тя трябва да бъде разбит на прости части.
# 9; 13.2.2. ОБЛАСТ дадени в полярни координати .. Ако област D - сектор, ограничена от греди, и кривата. формула за изчисляване на областта, получен чрез следната неразделна конструкция. Ние разделят лъчи интервал на п парчета; , На всеки от сегментите избираме произволна точка. намери. След това е равно на площта на кръг сектор, ограничен от лъчите, а радиусът дъга на кръга. Комбинирането на тези сектори - отново стръмна форма сближи тази област D. своята област. Когато разликата между Sstup и S - квадратни D - също ще са склонни към нула, т.е. ,
Примери: 1. Намерете зоната, ограничена от лемниската.
# 9; Решение: Точката на лемниската намира в сектори и; В допълнение, когато се занимават с подобен проблем, че е препоръчително да се използва симетрията на фигурата, така че ние можем да намерим част от района, който се намира в сектора и да се увеличи четири пъти :.
# 9; 2. Намерете район, който се намира в кардиоидния извън кръга.
# 9; Решение: намерите разликата, разположена в рамките Кардиоидните и кръг. Към горната част на кардиоидния; за горната част на обиколката. следователно
# 9; 3. Намерете разположена в кръга е лемниската.
# 9; Решение. Точките на пресичане на кръга са лемниската и състояние ОБЛАСТТА симетрично около полярната ос, така че да се изчисли областта на горната част и удвояване. Когато се преминава от полярен да варира от радиус на; при смяна от до полярен радиус варира от 0 до; следователно
13.2.3. Област граничи с криви, определени по параметри. Ако кривата гранична крива трапец ABCD (.. Виж Изчисляване 11.1.1 извита трапец площ), определена в параметрична форма; в прехода към променливата т интеграл води до формулата.
Пример: да открие зоната, ограничена от astroid ().
Решение: С помощта на симетрията на фигурата. Ние ще намерите областта на фигурата, се намира в първи квадрант (), и тя се увеличи четири пъти. Точката (0, а) е получен от. точка (а 0.) - при Т = 0. обаче
# 9; 13.3.1. Определяне може да се коригира крива и продължителност на крива. Да предположим, че кривата на КБ е определена равнина. Ние разделят крива точките А = М0. М1. М2. ..., Mi -1. Mi. ..., Мп = B в п части и впише счупен крива линия M0M1M2 ... Mi -1Mi ... Мп. свързваща тези точки. Дължината на многоъгълна Llom равна на сумата от дължините на правите връзки, свързващи разделителни точки :. Сега нека н брой точки преградни до безкрайност, така че максималната дължина на връзката клони към нула. Ако в този случай има ограничен срок многоъгълна Llom последователност дължини. независимо от начина на разпределение на кривата, тогава кривата се нарича може да се коригира, както и стойността на тази граница се нарича дължината на кривата AB.
# 9; 13.3.2. Дължината на кривата в декартови координати. Да предположим, че след като крива AB - графика функция крива у = е (х). като непрекъснат производно. Тогава точка М и има координатите (х т. Е (х I)). единица М и -1M и има дължина. функция у = F на (X) в интервала [х и -1x Ь] отговаря на условията на теоремата Lagrange обаче има точка, така че. С оглед на тази единица дължина М и -1M и равна. по цялата дължина на полилинията -. Последната сума - интегралната сума за интеграла. и поради непрекъснатостта на подинтегрален, има тенденция към него по. По този начин, дължината на кривата, определена от декартови уравнението у = е (х) ,. Тя се дава от уравнението.
# 9; Пример: намери дължината на сегмента на парабола Y = х 2 от точка А (0,0) към точка В (2,4).
# 9; Решение :. така.
# 9; 3.3.3. Кривата се дава по параметри. Замяна на променливите х с променлива т. Тъй като. след това. По този начин, дължината на кривата дефинирано параметрично определена формула.
# 9; Например: намери дължината на частта на сканиране обиколка, съответстващ на един оборот на резбата.
# 9; Решение: кривата се определя от уравненията.
# 9; 13.3.4. Кривата дадени в полярни координати. Когато кривата се дава от уравнението. То е лесно да се намали до предишната. Тъй като. След това, като се има предвид полярен ъгъл като параметър, ние получаваме. следователно
.
# 9; Пример: Да се намери дължината на кардиоидния.
Решение :. така. Отговорът е ясно безсмислена. Къде е грешката? Грешката е, че модулът пропуснал знак на корен квадратен от. Правилното решение е: Въпреки това, както и в предишните случаи, е по-лесно да се възползват от симетрията на фигурата, намери дължината на горния клон и го удвояване:
# 9; 13.4.1. Изчисляване на обема на тялото на напречното сечение. Нека V тяло е разположена в пространството между равнините х = а и х = б. и е известен с площ на напречното сечение S = S (X). Необходимо е да се определи обемът на тялото.
# 9; Rassechom това тялото равнини х = x0 = а. х = x1. х = X2. ..., х = х и -1. х = х аз. ..., х = х п -1. х = х п = б в п слоеве (а = x0
# 9; Пример: да се намери на обема на елипсоид, в резултат на въртене на елипсата около оста Ox.
# 9; Решение: този проблем е по-лесно да се реши, ако се приложи елипса параметрично уравнение. Горната дъгата на елипсата получава, когато се променя от 0 до т. в този момент лявата точка на елипсата съответства t0 параметър стойност. равно. дясната точка съответства на стойност т к = 0. Формулата за кривата дефинирани параметрично става. така.
# 9; Ако е необходимо да се намери на обема на тялото, което се получава чрез въртене на равнина фигура около ABCD Oy ос. Ние твърдим, по различен начин. Ние разделяме тялото в кухия цилиндър с радиус х. дебелина. височина е (х). Обемът на този цилиндър е равна на произведението от обиколката на дебелината и височината е (х); сумиране на тези обеми и преминаване на границата. Ние се получи.
# 9; 13.4.3. Том тяло, получено при завъртане на сектора, ограничена от кривата и радиусите и две полярния. за полярната ос е по формулата.
# 9; Пример: да се намери обема на тор, получен чрез въртене в кръг около полярната ос.
Решение :.
# 9; Повърхностната площ на въртене, образувана от въртящи се около диференцируема кривата на оста Ox се определя от формулите (в зависимост от начина на определяне на кривата)
(- обиколка на пръстена - ширина).
# 9; Пример: търсене площ на тороид, образувани от кръг около О х ос на въртене.
# 9; Решение :.