Правило три сигма - studopediya
При разглеждане на нормалното разпределение се откроява важна специален случай, известен като правилото за три сигма.
Пишем вероятността отклонението на нормално разпределена случайна променлива от очакваната стойност е по-малко от предварително определен D:
Ако вземем D = 3 мастни киселини, ние получаваме помощта на таблици с функцията на Лаплас:
Т.е. вероятността случайна променлива отклонява от своя математически очаквания с количество по-голямо от три пъти стандартното отклонение е практически нула.
Това правило се нарича върховенството на три сигма.
Не практикуват се смята, че ако по някаква - всяка случайна променлива се извършва три сигма правило, тази случайна променлива има нормално разпределение.
Пример. Влакът се състои от 100 вагони. Теглото на всеки автомобил - случайна променлива нормално разпределени със средно = 65 и m и стандартно отклонение S = 0,9 m локомотив може да състав тегло не повече от 6600 m, в противен случай е необходимо да се свържете втория локомотив .. Намерете вероятността, че не се изисква втори локомотив.
Вторият двигателят не се изисква, ако отклонението от очакваното тегло на състава (100 х 65 = 6500) не надвишава 6600-6500 = 100 m.
защото тегло на всяка кола има нормално разпределение, а след това теглото на общия състав също ще бъде нормално разпределение.
Пример. А нормално разпределена случайна променлива X се определя от параметрите - а = 2 - очакването, и S = 1 - стандартно отклонение. Задължително да напише плътността на вероятността и изграждане си графика, намери вероятността, че X заема стойност в интервала (1; 3), намери вероятността, че X ще се отклонява (абсолютна стойност) от очакването на не повече от два.
Плътността на разпределение е, както следва:
Ние считаме, вероятността за случайна стойност, попадаща в обхвата (1, 3).
Ние считаме, вероятността от случайно отклонение от очаквана стойност с количество, не по-голямо от 2.
Същият резултат може да се получи с помощта на нормализира функцията на Лаплас.
Централният лимит теорема на Ляпунов
Теорема .При случайна променлива X е сумата от много голям брой отделни независими случайни величини, въздействието на всеки от които цялата сума е незначителна, а след това X има разпределение близо до нормалното.
На практика по-голямата част от случайните променливи отговаря на условията на теоремата на Ляпунов е.
3 случайни променливи система случайни променливи обсъдени по-горе са едномерен, т.е. определя от един номер, но има и случайни величини, които се определят от две, три и т.н. номера. Такива произволни стойности се наричат двуизмерен, триизмерен, и т.н. В зависимост от вида, включени в случайни променливи, системата може да бъде отделен, непрекъснато, или смесени, ако системата включва различни видове случайни променливи. 3.1 Системата на две случайни величини, обсъдени по-подробно на система от две случайни величини. Определение. Право на разпределение на случайни величини се нарича корелация, за създаване на връзката между границите на възможните стойности на системата на случайни величини и вероятностите за настъпване на система в тези области. Определение. Функцията на системата за разпределение на две случайни променливи е функция на две променливи F (х, у). вероятност равно разпределение на две неравенства X Определение. Плътността на съвместното разпределение на двумерен случайна променлива (X, Y) се нарича втори смесен частна производна на функцията на разпределение. Ако знаем, разпределението на плътността, функцията за разпределение може лесно да се намери по формулата: Двуизмерният разпределението на плътността на не-отрицателни и двойно неразделна с безкраен граници на двумерен плътност е равен на единица. От известно съвместно плътността на разпределение може да се намери на плътността на разпределение на всеки един от компонентите на двуизмерен случайна променлива. Както е показано по-горе, да знае закона на съвместна дистрибуция могат лесно да намерят законите на разпределение на всяка случайна величина, част от системата. Въпреки това, на практика, най-стои обратния проблем - известните закони за разпространение на случайни величини, за да намерят своето съвместно право разпределение. Като цяло, този проблем е неразрешим, защото закона за разпределение на случайна променлива не казва нищо за връзката на тази величина с други случайни величини. Освен това, ако случайно стойност зависими едни от други, че законът за разпределение може да се изрази по отношение на компонентите на законите за разпространение, тъй като трябва да се установи комуникация между компонентите. Всичко това води до необходимостта да се помисли за условни законите за разпространение. Определение. Разпределението на случайна променлива, включени в системата намерени при условие, че друга случайна стойност, приета определена стойност, наречена условно закона за разпределение. Условно закон разпределение може да се определи като функция на разпределение и разпределение плътност. Условно функция плътност се получава от: Гъстотата на условно разпределение има всички качества на разпределение на случайна променлива плътност. Определение. Условно очаквания дискретна случайна променлива Y при X = х (х - определен възможно стойност на X) е продукт на всички възможни стойности на Y за своите условни вероятности. За непрекъснати случайни величини: където F (Y / х) - условие плътност на случайна променлива Y при X = х. Условно очаквания М (Y / х) = е (х) е функция на х и нарича регресия функция X за Y. Пример. Намерете условното очакване на Y X = Х1 = 1 за двумерен дискретна случайна променлива дадени в таблицата: По същия начин се определя условно отклонение и условни моменти на случайни променливи Случайни променливи се наричат независими, ако закона за разпределение на един от тях не зависи от каква стойност вземе още една случайна променлива. Концепцията за зависимостта на случайни величини е много важно в теорията на вероятностите. Условно разпределение на независими случайни величини, равни на безусловната си разпространение. Определяне на необходимите и достатъчни условия за независимостта на случайни величини. Теорема .За на случайни променливи X и Y са независими, е необходимо и достатъчно разпределителната система (х, у) е равна на произведението на компонентите на функциите на разпространение. Аналогична теорема може да бъде формулиран за разпределение на плътността: Теорема .За на случайни променливи X и Y са независими, е необходимо и достатъчно, че плътността на системата за съвместна дистрибуция (X, Y) е равна на произведението на разпределението на плътността на компонентите. Определение. Mxy корелация момент от случайни променливи X и Y е математическото очакване на отклоненията на продуктите на тези стойности. За дискретни случайни величини: За непрекъснати случайни величини: Времето на корелация се използва за описание на връзката между случайни величини. Ако случайни променливи са независими, корелацията им е нула цяло. Точката на корелация има размер, равен на размерите на случайни променливи X и Y. Това е недостатък на тези числени характеристики, като когато се получават различни единици различно време корелация, което усложнява сравнението на различните корелационни моменти случайни величини. За да се елиминира този недостатък се прилага друга характеристика - коефициента на корелация. Определение. коефициент на корелация гху случайни величини X и Y е съотношението на корелацията време на произведението на стандартни отклонения от тези стойности. Корелационният коефициент е безразмерна величина. Коефициентът на корелация на независими случайни величини е нула. Имот: Абсолютната стойност на съотношението време на две случайни величини X и Y е по-малко от средното геометрично на променливите. Имот: Абсолютната стойност на коефициента на корелация е по-малко от единство. Случайни променливи се наричат корелация. ако продължителността на корелация не е нула, и несвързани помежду си. ако продължителността на корелация на нула. Ако случайни променливи са независими, те не са взаимно свързани, но са несвързани помежду невъзможно да се направи заключение относно тяхната независимост. Ако двете стойности са независими, те могат да бъдат или корелативна или несвързани помежду си. Често за дадено разпределение на случайни величини може да се определи зависимостта на плътността или независимостта на тези променливи. Заедно с корелация коефициент зависимост от случайни величини може да се опише, а другата количеството, което се нарича коефициент на ковариация. съотношение ковариация се определя от формулата: Пример. Като се има предвид плътността на разпределение на случайни величини X и Y. се установи дали независими случайни величини X и Y. За да се реши този проблем, ние превръщаме плътността на разпределение:Плътността на системата за разпределение на две случайни величини
Условни закони за дистрибуция
Условно очакване
Зависими и независими случайни величини
На практика се използва с формула: