Отчет за проблема с интерполация
Обикновено се използва за приблизително изчисляване на стойностите на функцията | (х) за стойностите на аргумента х, интерполация, различна от възли. Това се нарича интерполация функции.
Има два вида на интерполация:
- globalnaya- съединение всички точки | (х) е един полином интерполация;
- lokalnaya- линия сегменти, свързващи точки (в две точки), сегменти от парабола (три точки).
Интерполиране полином interpolant съответното наречен, където системата функционира # 966; к (х), полином е избран.
Наличие и уникалността на полином интерполация гарантирана, ако всички XK интерполация точки са различни. Ненужно детерминанта на системата от линейни алгебрични уравнения за коефициентите ак е Vandermonde детерминанта, която е
и, следователно, различна от нула в случая, където всички възли XK са различни и не-единствено матрица на системата, разтворът на системата съществува и е уникална.
Задачата на интерполация функция, интерполация полиноми:
Нека интервала [а, Ь] дефинирана функция ƒ (х). Задачата на интерполация (или интерполация) е за изграждане на функция г (х). съвпада с предварително ƒ (х) в множество от точки X1, X2. Xn + 1> в интервала [а, Ь] (тези точки се наричат интерполация възли), т.е. условия трябва да бъдат изпълнени:
където YK - известни стойности на функция ƒ (х) при XK на точки. г (х) функция се нарича interpolant функция ƒ (х).
Изграждане на полином интерполация:
За изграждането необходимо да се намери фактори.
За да намерите коефициентите, необходими за изграждане на система от линейни уравнения, които могат да бъдат получени на базата на факта, че полиномът минава през пътен възел.
В резултат на това ние имаме система:
Редът на системата е. Опции. известни и определено в функцията на маса. Неизвестни на системата са коефициентите.
Интерполиране полином по формула на Лагранж е:
Полином е полином интерполация, т. Е. В възлови точки получава стойности маса.
Нека сега обърнем формулата на Лагранж:
. къде. (Lagrange метод алгоритъм не се предвижда получаване на полином съвсем ясно и недвусмислено е ценно междинни точки.)
Изграждане на полином интерполация по метода на Нютон
. Lagrange полином е полином н-та степен, преминавайки през всички точки. Ако точките не формират връща, след полином съществува и е уникален. При връщането е ситуация, в която има две точки и така, че.
изграждане на полином алгоритъм:
1.Polinom конструирана като сума от полиноми на п-та степен:
2. Всяка от полиноми. включени в размер, както следва. 3.Kornyami полином са всички точки, с изключение на най-важното. 4.Edinstvennost осигурява от факта, че водещите коефициент е избран така, че полином, минаваща през точка. Полинома записите на Лагранж е както следва:
Линейна интерполация е, че определени точки (I = 0. 1. н) са свързани с прави отсечки, и F на функция (х) подходи многоъгълник с върховете на тези точки.
Уравнение на всеки сегмент наклонен обикновено по-различно. Тъй като има N интервали. за всеки от тях, като уравнение интерполация се използва уравнението на линията, минаваща през двете точки. По-специално, за аз-ти интервал да напишете уравнение на линията, минаваща през точки и. под формата на
Поради това, при използване на линейна интерполация първо е необходимо да се определи интервала в което стойността на аргумент х. и след това се замества в уравнение (1) и да се намери на приблизителната стойност на функцията в тази точка.
Квадратичен интерполация. Като функция интерполация на интервал взето квадратно трином. Това се нарича също параболична интерполация.
Квадратично уравнение
съдържа три неизвестни коефициенти AI. двупосочно. CI. да се определи кои са необходими три уравнения. Тези условия са парабола канал (2) през трите точки. Тези условия могат да бъдат записани като
При изчисляване на приблизителна стойност на функция използване квадратичен интерполация вместо с формула (1) трябва да се използва (2) с разтвора на система за линейни уравнения (3). Интерполация за всяка точка извършва на тримата най-близо до своите връстници.
Пример. Намери приблизителната стойност на функция у = е (х) при х = 0,32, ако знаем неговите ценности в следната таблица: