Най-общото определение за мерки

А общо определение на мерките.

С цел да се определи мярката на групи от по-общ характер от отворен и затворен, ние се нуждаем спомагателен концепция. Нека Е - набор разположена в интервал внимание всички възможно покритие на Е, т.е. всички отворено множество V (Е), съдържащ Е. Измерва всяка от комплекта V (Е) е определен ... А набор от мерки на всички набори V (Е) е набор от положителни числа. Този набор от числа е ограничена по-долу (най-малко числото 0) и следователно има по-ниска граница, която ще означаваме номер се нарича външен мярка на Е.

Нека външния мярката на набор Е, и - външен измерител на комплемента отношение на сегмента.

Ако съотношението е доволен

тогава набор E се казва, че може да се измерва и броя - неговата мярка: ако (3) не е изпълнено, тогава ние казваме, че E е неизмеримо; измерими набор още няма мерки.

Имайте предвид, че тя винаги е

Ние правим малки уточнения. Дължина простите комплекти (например, интервали и дължини) има редица забележителни свойства. Ние говорим за най-важните.

1. Ако наборите са измерими и Е и

т. е. част от мярката не надвишава зададената Е на всички мерки на Е.

2. Ако наборите са измерими, набор от измерими и

т. е. по мярка за количеството не превишава сумата от условията на мерки.

3. Ако наборите са измерими и разединени, а след това им сума е измеримо и

т. е. мярка за ограничен или бройна сума от несвързани набори е сумата от гледна точка на мерки.

Това свойство се нарича мярката на общия си добавка.

4. Измерване на E не се променя, ако му ход като твърдо тяло.

Желателно е, че дължината на основните свойства запазени за по-обща представа за мярка комплекти. Но, тъй като може да бъде доста стриктно да покаже това не е възможно, когато полето за измерване на произволна поредица от точки върху линията. Ето защо, в горната дефиниция, а има и комплекти, които имат измеримо или мярка, и да зададете без стъпала или неизмерима. Въпреки това, в класа на измерими комплекта е толкова широка, че това обстоятелство не въвежда значителни неудобства. Дори и изграждането на примера, даден е неизмерима известни трудности.

Ето някои примери за измерими комплекти.

Пример 1. Измерете Cantor набор P (вж. § 4). При конструиране на набор Р на интервала [0, 1] се освобождава първо една дължина съседен интервал след това дължината на два съседни интервал 1/9, след това четири съседни дължина интервал Обикновено в етап изхвърля съседни интервали от дължина

Така, сумата на всички интервали се изхвърля

Членовете на тази серия представляват геометрична прогресия с първи план и знаменателят на 2/3. Следователно, сумата от серията е

По този начин, на сбора от дължините на всички в непосредствена близост до Cantor определен интервал, равен на 1. С други думи, тази мярка в допълнение към R отворено множество, равен на 1. Поради това, на снимачната площадка е самото измерване

Както показва този пример, комплектът може да има кардиналност на континуум и все още имат една мярка, равна на нула.

Пример 2. Измерване на набор от рационални точки на интервала [0, 1]. На първо място, ние показваме, че. В § 2 беше установено, че множество от изброимо. Подреждане на множество точки в последователността

След това се определят и съраунд точка интервал дължина

Сумата е отворен комплект, покриващи интервалите 8, могат да се припокриват, така че

Е, как може да бъде избран произволно малък, а след това

Освен това, съгласно точка (3)

Тъй като той се съдържа в интервала [0, 1], така

Този пример показва, че на снимачната площадка може да бъде плътна в определен интервал и въпреки това да има мярка нула.

Набор от мярка нула в много области на теорията на функциите играе никаква роля, и те трябва да бъдат игнорирани. Например, функцията Риман интегрируеми ако и само ако тя е ограничена, и mpozhestvo прекъснати точки на измерване нула. Мога да цитирам значителен брой такива примери.