Методи за намиране на обратни матрици, използвайки Gaussian -zhordana

Продължавайки да обмисли начини за намиране на обратни матрици. В предишна блог бях смятан за първия метод: с помощта на матрица на кофактори. А сега да разгледаме втория метод: като се използва методът -Zhordana Гаус.

Алгоритъмът за намиране на обратен матрица
по метода на Гаус-Jordan.

За да намерите обратния матрицата ще бъде използвана zlementarnye трансформира матрица. Много често, този метод е по-ефективен (по-малко трудоемки) в сравнение с първия метод (като се използва матрица алгебрични допълнения).

Същността на алгоритъма за намиране на обратни matritsys чрез метод на отстраняване на Гаус-Jordan.:

1. Правят се блок матрица \ (A | E \), възлагането на дадена матрица \ (A \) десен блок матрица от същия порядък.

2. Използване на елементарни преобразувания, чувствах се върху редовете на матрицата \ на ((A | E) \) даде лявата му страна до най-простата форма $$ \ ляво (\ beginE 0 \\ 0 0 \ край \ дясно) $$ Този блок матрица с форма \ ((\ ламбда | S) \), където \ (S \) - квадратна матрица poluchennnaya резултат от превръщане на идентичност матрица \ (Е \).

3. Ако \ (\ ламбда = Е \), тогава блок \ (S = А ^ \), ако \ (\ ламбда \ NE E \), тогава матрица \ (А \) - не се обърне, т.е. тя се изроди.

Да разгледаме например алгоритъм:

Дана матрица $$ A = \ ляво (\ begin5 8 1 \\ 2 3 2 \\ 1 2 3 \ край \ вдясно) $$ Намерете обратната матрица.

Решение. Ние работим съгласно описаните алгоритъм.

1. Правят се блок матрица $$ (A | E) = \ ляво (\ begin5 8 1 \\ 2 3 2 \\ 1 2 3 \ край \ лява | \ begin1 0 0 \\ 0 1 0 \\ 0 0 1 \ край \ прав. \ Десен) $$
2. елементарни преобразувания на реда, които причинява на простата си форма \ ((Е | A ^) \)
Според метода на Гаус-Джордан ние трябва да се избере водещ елемент - елемент, за да бъде на първия ред - \ (a_ = 5 \). Ние трябва да е равна на \ (a_ = 1 \). Това може да е на първа линия разделена на 5, но тя ще се превърне дробни членове, а това е малко неудобно в изчисленията, така че ние се получи \ (a_ = 1 \) правят елементарни преобразувания:
Умножете третия storoku 4 и се изважда от първия $$ \ ляво (\ begin1 0 -11 \\ 2 3 2 \\ 1 2 3 \ край \ лява | \ begin1 0 -4 \\ 0 1 0 \\ 0 0 1 \ край \ прав. \ Десен) $$
Умножете първия storoku от 2 събиране и изваждане на ляво втората от $$ \ (\ begin1 0 -11 \\ 0 3 24 \\ 1 2 3 \ край \ лява | \ begin1 0 \\ -4 -2 1 8 \\ 0 0 1 \ край \ прав. \ Десен) $$
Изваждане първият от третия storoku $$ \ ляво (\ begin1 0 -11 \\ 0 3 24 \\ 0 2 14 \ край \ лява | \ begin1 0 \\ -4 -2 1 8 \\ -1 0 5 \ край \ прав. \ Десен) $$
Сега водещ елемент е \ (a_ = 3 \). За удобство на изчисления трябва да \ (a_ = 1 \), за да се изважда от тази на втория ред на първата $$ \ ляво (\ begin1 0 -11 \\ 0 1 10 \\ 0 2 14 \ край \ лява | \ begin1 0 \\ -4 -1 1 3 \\ -1 0 5 \ край \ прав. \ Десен) $$
Произведението на втория низ от 2 събиране и изваждане на третия ред на $$ \ ляво (\ begin1 0 -11 \\ 0 1 10 \\ 0 0 -6 \ край \ лява | \ begin1 0 \\ -4 -1 1 3 \\ 1 -2 -1 \ край \ прав. \ Десен) $$
И сега се направи tezhe реализация, но само от долу нагоре, но първо е необходимо да се \ (a_ = 1 \), за този раздел е целият низ -6 получи $$ \ ляво (\ begin1 0 -11 \\ 0 1 10 \\\\ 0 0 1 \ край \ лява | \ begin1 0 \\ -4 -1 1 3 \\ - \ Фрак \ Фрак \ Фрак \ край \ прав. \ Десен) $$
Третият ред се умножава по 10 и се изважда от втория $$ \ ляво (\ begin1 0 -11 \\\\ 0 1 \\\\ 0 0 0 1 \ край \ лява | \ begin1 0 -4 \\ \ Frac - \ Фрак \ Фрак \\ - \ Фрак \ Фрак \ Фрак \ край \ прав. \ Десен) $$
Е, последния елементарен трансформацията - umnozhm трета линия 11 и да го добавите към първия ред на $$ \ ляво (\ begin1 0 \\\\ 0 0 1 \\\\ 0 0 0 1 \ край \ лява | \ begin- \ Фрак \ Фрак - \ Фрак \\ \ Фрак - \ Фрак \ Фрак \\ - \ Фрак \ Фрак \ Фрак \ край \ прав. \ Десен) $$ В лявата страна на блока матрица имаме идентичната матрица, а след това право ще бъде обратна матрица.

Алгоритъмът за намиране на обратен матрица на матрицата чрез кофактори.