Методи за интегриране на тригонометрични функции

Интегриране на обратни тригонометрични функции

Интеграли съдържащи обратни тригонометрични функции
arcsin φ. arctg φ. и т.н. където φ - алгебрични функция на х. често се интегрират с части, като се има предвид U = arcsin φ. ф = arctg φ. и т.н.

Стандартни методи за интегриране на тригонометрични функции

общ подход

На първо място, ако е необходимо, подинтегрален трябва да се преобразува в тригонометрични функции зависят от един-единствен аргумент, който би съвпадат с променливата на интеграция.

Например, ако подинтегрален зависи от грях (х + а) и COS (х + Ь). е необходимо да се направи превръщане:
COS (х + B) = COS (х + а - (А-В)) = COS (х + а) COS (Ь-а) + грях (х + а) грях (В-А).
След това направи смяна Z = х + а. В резултат на това тригонометрични функции ще зависят само от интеграция променлива Z на.

Когато тригонометрични функции зависят от един аргумент, който съвпада с променлива интеграция (да кажем, че е щ), а след това там е подинтегрален се състои само от функции като грях Z. защото Z. TG Z. CTG Z. е необходимо да се направи замяна
.
Тази замяна резултати при интегриране на рационални и ирационални функции (ако има такива корени) и ви позволява да се изчисли интеграла, ако тя е интегрирана в елементарни функции.

Въпреки това, често можете да намерите и други методи, които ви позволяват да се изчисли неразделна-кратък начин, въз основа на спецификата на подинтегрален. По-долу е обобщение на основните от тези методи.

Методи за интегриране на рационални функции на греха х и х COS

Рационално функция на греха х и х COS - е функцията получен от грях х. COS х и произволни константи използват събиране, изваждане, умножение и деление повишаване на мощността число. Те са означени като: R (син х, COS х). Тя може също така да включва и допирателна котангенс, защото те са образувани от разделяне на синус и косинус и обратно.
Интеграли от рационални функции имат следния вид:
.

Методи за интегриране на рационални тригонометрични функции, както следва.
1) Смяна винаги води до интеграл от рационална дроб. Въпреки това, в някои случаи, има заместване (представена по-долу), която да доведе до по-кратки изчисления.
2) Ако R (син х, COS х) се умножава по -1 чрез заместване на COS х → - COS х. се извършва заместване т = грях х.
3) Ако R (син х, COS х) се умножава по -1 при смяна грях х → - SIN х. се извършва заместване Т = COS х.
4) Когато R (син х, COS х) не се променя, както в едновременно заместване на COS х → - COS х. и грехът х → - грях х. приложимата заместване Т = TG х или т = CTG х.

Продуктът от функциите мощност на COS х и х грях

са интеграли от рационални тригонометрични функции. Поради това е възможно да се прилагат методите, посочени в предишния раздел. По-долу са методите, основаващи се на спецификата на тези интеграли.

Ако м и п - рационални числа, един от замествания Т = грях х или Т = COS х неразделна намалява до неразделна на разлика биномно.

Ако m и п - числа, след интегрирането се извършва с помощта на формулите за намаляване:

На интегралите на продукта полином и синусови или косинус

Интеграли от вида:
.
където Р (х) - полином от х. интегриране на части. Това води до получаване на следните формули:

Интегралите на полином продукт, експоненциалната функция и задължително или косинус

Интеграли от вида:
.
където Р (х) - полином от х. интегрирано използване на формула на Ойлер
д IAX = защото брадва + СИН брадва (където I = 2 - 1).
За тази цел, методите, описани в предходния параграф, изчисли интеграла
.
Избор от резултата от реални и въображаеми част, получена като се започне интеграли.

Нестандартни методи за интегриране на тригонометрични функции

По-долу са някои нестандартни методи, които позволяват да се извърши или да се улесни интегрирането на тригонометрични функции.

Зависимостта от (грях х + б COS х)

Ако подинтегрален зависи от грях х + б COS х. е полезно да се прилага формулата:
,
къде.

Разлагането на фракцията на Sines и уюта на повече прости фракции

Помислете за интеграл
.
Най-лесният начин за интеграция е разширяването на фракции в прости такива, при прилагане на трансформация:
грях (а - Ь) = грях (х + а - (х + б)) = грях (х + а) COS (х + б) - COS (х + а) грях (х + б)

Интеграция фракции от първа степен

При изчисляването на интеграла
,
удобно да се отдели цялата част на фракцията и производното на знаменател
1 грях х + 1 б защото х = А (грях х + В COS х) + B (грях х + В COS х).
константи А и В са сравнение между лявата и дясната страна.