Методи Урок по алгебра за решаване на уравнения от по-висока степен

Математическо образование, получено в средно училище, е съществен компонент на общото образование и обща култура на съвременния човек.

Известният немски математик Courant пише: "За повече от две хилядолетия, притежаването на някои не твърде повърхностни познания по математика, включени необходима част от интелектуалния екипировката на всеки образован човек." И сред тях знание не е последното място принадлежи на способността за решаване на уравнения.

Още в древни времена, хората са осъзнали колко е важно да се научите да се реши алгебрични уравнения. Преди около 4000 години, вавилонските учени притежавали решаването на квадратно уравнение и решаване на система от две уравнения, един от които - втора степен. Използването на уравнения за решаване на различни задачи геодезия, архитектура, както и военните дела, те слезе по много и разнообразни въпроси, свързани с практиката и науката като точен език на математиката го прави лесен за да изразят факти и отношения, които, както е посочено в обикновения език, може да изглежда объркващо и сложно. Уравнението е един от най-важните понятия на математиката. Разработване на методи за решаване на уравнения, като се започне с раждането на математиката като наука, отдавна е основен обект на изследване алгебра. Днес, в часовете по математика, като се започне с първата стъпка на обучение, решаване на различни видове уравнения платени много внимание.

Универсална формула за намиране на корените на алгебрични уравнения на п - та степен не присъстват. Много от тях, разбира се, излезе с идеята да намерите изкусителни за всеки наш степен формула, която ще изразят корените на уравнението с коефициентите, това е, за да се реши уравнението в радикали. Въпреки това, "тъмните векове" е не може да бъде по-мрачен и обсъдени във връзка с проблема - в необходимия формули никой намерени най-много седем века! Само през 16 век италиански математик е в състояние да отиде по-далеч - да се намери формула за п = 3 и п = 4. В същото време въпросът за общото решение на уравненията на трета степен ангажирани Stsipion Dal Ferro, неговият ученик Фиори и Tartaglia. През 1545, една книга от италианския математик Кардано D "велико изкуство, или за правилата на алгебра", където, наред с други въпроси, алгебра се занимава с общите методи за решаване на кубични уравнения, както и метод за решаване на уравнения, 4 - та степен, откри своя ученик L. Ferrari. Пълни подробности за въпросите, свързани с решаване на уравнения 3-ти 4-ти градуса F. дадоха Wyeth. И в 20-те години на 19-ти век, норвежки математик Абел доказа, че корените на уравнения 5 и по-висока степен не могат да бъдат изразени по отношение на радикали.

Процесът на намиране на решения на уравнението е обикновено в еквивалент на уравнение се заменя. Смяна на уравнението е еквивалентно на базата на използването на четири аксиоми:

1. Ако равни количества са се увеличили с един и същ номер, след което резултатите ще бъдат същите.

2. Ако от равни количества изваждат един и същ номер, след което резултатите ще бъдат същите.

3. Ако равни количества, умножени по един и същ номер, след което резултатите ще бъдат същите.

4. Ако равни количества разпределени в същия брой, а след това резултатите ще бъдат същите.

От лявата страна на уравнение Р (х) = 0 е полином на п-тия мощност, е полезно да се припомни следните твърдения:

Твърдения относно корените на полином и нейните подгрупи:

1. полином п-та степен е броят на корените е не по-голям от броя п и корените на множество m настъпва точно м пъти.

2. полином от степен странно има поне един реален корен.

3. Ако α - корен на F (х), F п (х) = (х - α) · Qn - 1 (х), където Qn - 1 (х) - полином от степен (п - 1).

4. Всяко число корен на полином с цели коефициенти е подгрупа на свободен член.

5. Имаме полином с цели коефициенти не може да има дробни рационални корени.

6. За полином от трета степен

P3 (х) = брадва 3 + 2 + BX СХ + г може едно от двете: или се разлага в продукт на три binomials

P3 (х) = а (х - α) (х - β) (х - γ), или разлага в продукт на биномно и квадратичен полином P3 (х) = а (х - α) (х 2 + βh + γ).

7. Всеки полином от четвърта степен е продукт на два квадратни trinomials.

8. полином F (х) неделими от полином г (х) без остатък, ако съществува полином р (х), че е (х) = грам (х) · р (х). За полином разделителната правило важи "дивизия зона".

9. делимост Р (х) полином от биномно (X - в) е необходимо и достатъчно корен е Р (х) (следствие от теорема Bezout).

10. Място Теорема: Ако x1. x2. ..., Xn - истинските корени на полинома

F (х) = А0 х х п + A1 п - 1 + ... + AN. след това следните равенства:

Пример 1. Виж остатъка от делене Р (х) = х 3 + 2/3 х 2 - 1.9 до (х - 1.3).

Решение. Като следствие от теорема Bezout "Остатък полином от биномно (х - C) е стойността на полином". Ние считаме, P (1/3) = 0. Следователно, останалото е числото 0 и 3.1 - корените на полином.

Пример 2. "Площ" The 2x 3 + 3x 2 - 2x 3 + (х + 2). Намерете остатъка и частичен коефициент.

2x 3 + 3x 2 - 2x + 3 | х + 2

2x 3 + 4x 2 х 2 х 2

Отговор: R = 3; Частен: 2x 2x.

Основни методи за решаване на уравнения от по-висока степен

1. Въвеждане на нова променлива

метод на приложение нова променлива е, че разтвори на F в уравнение (X) = 0 се въвежда нова променлива (заместване) т = хп или т = грам (х) и се изразява е (х) чрез т, като се получава нова уравнение г (т) , Решаването на уравнение тогава г (т), са корените на: (.. Т1 t2 ..., TN). След този набор от п уравнения получени р (х) = t1. р (х) = t2. .... р (х) = Тенеси. от които са корените на първоначалното уравнение.

Пример; (X 2 + х + 1) 2 - 3 2 - 3 пъти - 1 = 0.

Разтвор (2 х + х + 1) 2 - 3 2 - 3 пъти - 1 = 0.

(X 2 + х + 1) с 2 - 3 (2 х + х + 1) + 3 - 1 = 0.

Заместването (х 2 + х + 1) = трет.

х 2 + х + 1 = 2 х 2 + или х + 1 = 1;

х 2 + х - 1 = 0 или 2 х + х = 0;

От първото уравнение: x1 2 = (-1 ± √5) / 2 от втория 0 и -1.

въвеждането на нова променлива метод се използва за решаване на уравненията на връщане, т.е. уравнения на форма a0 а1 х п + х п - 1 +. + A 1 х + п и п = 0, при което коефициентите на условията на уравнението са еднакво разстояние от началото и края са равни.

2. Факторинг чрез групиране и формули на съкратената умножение

В основата на този метод се състои в групиране на условията по такъв начин, че всяка група съдържа общ фактор. За да направите това, понякога е необходимо да се прилагат някои заобиколни.

Пример X 4 - 3x 2 + 4-3 = 0.

Решение. Представлява - 3x 2 = -2x 2 - х 2 и група:

(X 4 - 2x 2) - (х 2 - на 4 + 3) = 0.

(X 4 - 2x 2 + 1 - 1) - (х 2 - 4 + 3 + 1 - 1) = 0.

(2 х - 1) 2 - 1 - (х - 2) 2 + 1 = 0.

(2 х - 1) 2 - (х - 2) 2 = 0.

(X 2 - 1 - х + 2) (х 2 - х + 1 - 2) = 0.

(X 2 - х + 1) (2 х + х - 3) = 0.

х 2 - х + 1 = 0 или 2 х + х - 3 = 0.

В първото уравнение имат корени от секундата: x1 2 = (-1 ± √13) / 2.

3. Метод Факторинг на неопределени коефициенти

Методът се състои в това, че на оригиналния полином се разлага на фактори с неизвестни коефициенти. Използването на имота, който полиноми са равни, ако те са равни на коефициентите на същите правомощия, са неизвестни коефициенти за разширение.

Пример: 3 х 2 + 4x + 5x + 2 = 0.

Решение. Полиноми от трета степен може да бъде фактор в продукт на линейни и квадратичен фактори.

3 х 2 + 4x + 5x + 2 = (х - а) (х 2 + BX + в)

3 х 2 + 4x + 5x + 2 = х 3 + 2 + BX CX - брадва 2 - ABH - променлив ток,

3 х 2 + 4x + 5x = х 2 + 3 + (б - а) х 2 + (С - аб) х - променлив.

3 х 2 + 4x + 5x + 2 = (х + 1) (х 2 + 3 + 2).

Корените на (х + 1) (х 2 + 3 + 2) = 0 са лесно.

4. Метод за избор на основата на по-старата и свободното фактор

Този метод се базира на използването на теореми:

1) Всеки корен на полином с цели коефициенти е подгрупа на свободен член.

2) Към несводима фракция р / р (р - цяло число, Q - положително) е корен на уравнението с цели коефициенти, необходимо е числото р да бъде цяло число делител константа a0 на. и р - естествени разделя водещ коефициент.

Пример: 6 х 3 + 7х 2 - 9х + 2 = 0.

Следователно, р / р = ± 1, ± 2, ± 1/2, ± 1/3, ± 2/3, ± 1/6.

Намирането един корен, например - 2, корени намерят други използване областта на разделяне, метод за неопределени коефициенти или схемата Horner.

Този метод се състои в изграждане на графики и използване свойствата на функции.

Пример: 5 х + х - 2 = 0

Ние сме Уравнение 5 под формата х = - х + у = 2. Функцията х 5 се увеличава, и у функция = - х + 2 - намалява. Следователно, уравнението х 5 х + - 2 = 0 има уникален корен от -1.

6.Umnozhenie уравнение на функция.

Понякога решаването на алгебрични уравнения се прави значително по-лесно, ако умножите двете страни с функция - полином неизвестен. Трябва да се помни, че възможната поява на ненужни корени - корените на полином, които са размножени в уравнението. Ето защо е необходимо да се умножи по полином, който все още няма корени, и получаваме уравнението е еквивалентно на или умножена по полином като корените, а след това е необходимо да се замени всеки един от тези корени в оригиналния уравнение и да определи дали това е броят на нейните корени.

Пример. Решете уравнението:

Решение: Увеличаването двете страни с полином 1 + X 2, който няма корени, ние получаваме уравнението:

(2 X 1) (X 8 - X 6 + X 4 - X 2 + 1) = 0 (2)
еквивалентни на уравнението (1). Уравнение (2) може да се запише като:

X 10 + 1 = 0 (3)
Ясно е, че уравнение (3) все още няма реални корени, така че уравнение (1) не ги има.

Отговор: няма никакви решения.

В допълнение към тези методи за решаване на уравнения от по-висока степен, има и други. Например, разпределението на пълния квадрат, Horner диаграма представяне на фракция под формата на две фракции. От общите методи за решаване на уравнения от по-висока степен, които се случват най-често използваният: метода на разширяване на лявата факторинг;

Почти всичко, което ни заобикаля, е свързано до известна степен с математиката. И постижения във физиката, инженерство, информационни технологии само потвърждават това. И това, което е много важно - решаването на много практически проблеми се свежда до решаване на различни видове уравнения, които трябва да се научат да се справят с.