Местно и неразделна Лаплас Теорема
Е необходимо да се изчисли: а) очакването М (X), Ь) дисперсия D (X), в) стандартно отклонение сигма.
Решение. а) математически очакването М (X) на дискретна случайна променлива X е сумата от двойки продуктите на всички възможни стойности на случайната променлива съответстваща на вероятността от възможни стойности. Ако X е дискретна случайна променлива определена маса (1), след това очакването М (X) се изчислява по формулата
Очакванията на М (X) се нарича също така средната стойност на случайна променлива X. Използване на (2), ние получаваме:
б) Ако М (X) е математически очакването на случайна променлива X, разликата X-М (х) е отклонението на случайна променлива X е средната стойност. Тази разлика характеризира разсейването на случайната променлива.
Дисперсията (разсейване) на дискретна случайна променлива X е математически очакването (средна стойност), квадратно отклонение на случайната променлива от очакването. По този начин, по дефиниция, ние имаме:
Изчисляваме всички възможни стойности на квадрат отклонения.
За да се изчисли дисперсията D (X), образуване на разпределение право квадратен отклонение и след това се прилага с формула (2).
Сега ние откриваме математическата очакването M (X 2).
М (х 2) = (48) 2 ∙ 0,2 + (53) 2 ∙ 0,4 + (57) 2 ∙ 0,3 + (61) 2 ∙ 0,1 =
Прилагайки (4), получаваме:
D (X) = 2931,2- (54) 2 = 2931,2-2916 = 15,2.
Както можете да видите, имаме един и същ резултат.
в) промяна на размер е квадрата на случайна променлива величина. Следователно, за характеристиките на разсейване на възможните стойности на случайна променлива около своята средна стойност по-удобно да се разгледа степента на която е равна на средната аритметична стойност на корен квадратен от дисперсията, т.е.
. Това количество се нарича стандартното отклонение на случайната променлива X, и е означен с σ. по този начинПрилагайки (5), ние имаме: σ =
.Пример. В случайна променлива X има нормално разпределение. Очакванията на М (X) = 5; dispersiyaD (X) = 0,64. Виж вероятността резултат от теста ще има стойност х в интервала (4, 7).
Решение. Известно е, че ако случайна променлива X е избран диференциална funktsieyf (х), вероятността, че X приема стойността принадлежащи на интервала (α, β), изчислена по формулата
Ако стойността на X има нормално разпределение, диференциална функция
,където = М (X) и σ =
. В този случай, ние получаваме от (1)Формула (2) могат да бъдат трансформирани, използвайки функцията Лаплас.
Направи заместването. нека
. след товаilidx = σ ∙ DT.Следователно gdet1 IT2 подходящи граници за peremennoyt.
Намаляване на σ, ние имаме
Смяна на наложеното
следва, чеи.Чрез хипотеза имаме проблем: а = 5; σ =
= 0,8; α = 4; β = 7. Заместването на тези данни в (3) получаваме:Пример. Смята се, че дължината на отклонение от стандарта на произведените части е разпределена случайна променлива обикновено. Стандартни дължина (очакване) а = 40 cm, стандартното отклонение σ = 0,4 см. Вижте вероятност, че отклонението от стандартната дължина ще бъде абсолютната стойност на не повече от 0.6 cm.
Решение. Ако X - дължината на елементите, тогава състоянието на проблема, тази стойност трябва да бъде в интервала (а-δ, а + δ), където а = 40 и δ = 0,6.
Поставянето на формула (3) α = а-δ и β = а + δ, получаваме
Замествайки в (4) наличните данни, които получаваме:
Следователно, вероятността, че фабричните артикули с дължина ще бъде в диапазона от 39,4 до 40.6 cm е 0.8664.
Пример. Диаметър на части, произведени растение, е разпределена случайна променлива обикновено. Diametraa стандартна дължина = 2.5 cm, стандартното отклонение σ = 0,01. В рамките на това, което граници почти може да се гарантира, дължината на диаметъра на частта, ако се приемат като значимо събитие, вероятността за което е равно на 0,9973?
Решение. Чрез хипотеза имаме проблем:
Прилагането на формула (4), ние получаваме:
Съгласно Таблица 2, ние откриваме, че такава стойност на функцията на Лаплас има X = 3. Ето защо,
; където σ = 0,03.По този начин, ние можем да гарантираме, че дължината на диаметъра ще варира от 2.47 до 2.53 cm.